每日一题[1032]建系解平几题

在周长为 $6$ 的三角形 $ABO$ 中，$\angle AOB=60^\circ$，点 $P$ 在边 $AB$ 上，$PH\perp OA$ 于 $H$，且 $PH=\dfrac{\sqrt 3}2$，$OP=\dfrac{\sqrt 7}2$，求 $OA$．

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正确答案是$\dfrac{5\pm\sqrt 7}3$

分析与解　如图，以 $O$ 作坐标原点，$OA$ 为 $x$ 正方向建立平面直角坐标系．
易得 $P\left(1,\dfrac{\sqrt 3}2\right)$，$H(1,0)$．设 $A(x,0)$，$B(y,\sqrt 3y)$，则

$$\begin{cases}x+2y+\sqrt{(x-y)^2+3y^2}=6,\\\dfrac{\sqrt 3y-0}{y-x}=\dfrac{\dfrac{\sqrt 3}2-0}{1-x},\end{cases}$$ 解得 $$(x,y)=\left(\dfrac{5\pm\sqrt{7}}3,\dfrac{7\mp\sqrt 7}7\right).$$

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下面给出一道练习，可以尝试建系解决：

已知 $\triangle ABC$ 内一点 $D$ 满足 $\angle BAD=\angle BCD$，且 $\angle BDC=90^\circ$．已知 $AB=5$，$BC=6$，$M$ 为 $AC$ 中点，求 $DM$．
正确答案是$\dfrac {\sqrt {11}}2$．