每日一题[1029]递推公式

数列$\{a_n\}$满足$a_1=1$，$a_2=\dfrac 12$，且$n(n+1)a_{n+1}a_n+na_na_{n-1}=(n+1)^2a_{n+1}a_{n-1}$对一切不小于$2$的正整数$n$均成立，则$\{a_n\}$的通项公式为_______．

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正确答案是$a_n=\dfrac{1}{n!},n\in\mathbb N^*$．

分析与解　根据题意，有

$$\dfrac{n(n+1)}{a_{n-1}}+\dfrac{n}{a_{n+1}}=\dfrac{(n+1)^2}{a_n},$$ 即 $$\dfrac{1}{a_{n-1}}+\dfrac{1}{(n+1)a_{n+1}}=\dfrac{n+1}{na_n},$$ 也即 $$\dfrac{1}{(n+1)a_{n+1}}-\dfrac{1}{a_n}=\dfrac{1}{na_n}-\dfrac{1}{a_{n-1}},$$ 于是 $$\dfrac{1}{(n+1)a_{n+1}}-\dfrac{1}{a_n}=\dfrac{1}{na_n}-\dfrac{1}{a_{n-1}}=\cdots=\dfrac{1}{2a_2}-\dfrac{1}{a_1}=0,$$ 因此 $$(n+1)a_{n+1}=a_n,$$ 也即 $$(n+1)!\cdot a_{n+1}=n!\cdot a_n,$$ 进而$a_n=\dfrac{1}{n!},n\in\mathbb N^*$．

注　构造常数列的方法可以解决很多由递推公式求通项公式的问题，比如对于等差数列的递推公式$a_{n+1}-a_n=d$，可以变形为

$$a_{n+1}-(n+1)d=a_n-nd=\cdots=a_1-d,$$ 从而有$a_n=a_1+(n-1)d$．很多可以利用累加或累乘法求通项公式的题也可以通过构造常数列去求解．