每日一题[1027]直达核心

已知函数$f(x)=|x-m|$，$g(x)=x|x-m|+m^2-7m$．
(1)若关于$x$的方程$f(x)=|m|$在区间$[-4,+\infty)$上有两个不同的实数根，求实数$m$的取值范围；
(2)若对任意$x_1\in (-\infty,4]$，均存在$x_2\in[3,+\infty)$，使得$f(x_1)>g(x_2)$成立，求实数$m$的取值范围．

分析与解　(1) 容易解得方程$f(x)=|m|$的两个根分别为$x=0$和$x=2m$，其中$m\ne 0$．于是可得实数$m$的取值范围是$[-2,0)\cup(0,+\infty)$．

(2) 根据题意，有 $$\min_{x\leqslant 4}f(x)>\min_{x\geqslant 3}g(x).$$ 而 $$\min_{x\leqslant 4}f(x)=\begin{cases}f(m),&m\leqslant 4,\\ f(4), &m>4,\end{cases}$$ 即 $$\min_{x\leqslant 4}f(x)=\begin{cases}0,&m\leqslant 4,\\ m-4, &m>4,\end{cases}$$ 而 $$\min_{x\geqslant 3}g(x)=\begin{cases}g(3),&m<3,\\ g(m),&m\geqslant 3,\end{cases}$$ 即 $$\min_{x\geqslant 3}g(x)=\begin{cases}m^2-10m+9,&m<3,\\ m^2-7m,&m\geqslant 3.\end{cases}$$ 如图，画出两个函数的图象，可得$m$的取值范围是$\left(1,4+2\sqrt 3\right)$．

注　本题来自尬题26．