每日一题[1026]三角形中的恒等式

在$\triangle ABC$内取一点$O$，设$\overrightarrow e_1,\overrightarrow e_2,\overrightarrow e_3$分别是$\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}$上的单位向量，求$m=\left|\overrightarrow e_1+\overrightarrow e_2+\overrightarrow e_3\right|$的取值范围．

正确答案是$[0,1)$．

分析与解　设这三个向量两两的夹角分别为$\alpha,\beta,\gamma$，则根据题意，有$\alpha,\beta,\gamma\in (0,\pi)$，$\alpha+\beta+\gamma =2\pi$，且 $$\begin{split} m=&\left|\overrightarrow e_1+\overrightarrow e_2+\overrightarrow e_3\right|\\=&\sqrt{3+2\left(\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma\right)}.\end{split}$$ 因为 $$(\pi-\alpha)+(\pi-\beta)+(\pi-\gamma)=\pi,$$ 所以$\pi-\alpha,\pi-\beta,\pi-\gamma$构成三角形，记为$\triangle DEF$，则有 $$1<\cos D+\cos E+\cos F=1+4\sin\dfrac {D}2\sin\dfrac E2\sin\dfrac F2\leqslant \dfrac 32,$$ 于是$\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma$的取值范围为$\left[-\dfrac 32,-1\right)$，因此所求$m$的取值范围是$[0,1)$．

注　本题来自尬题20．题中用到了三角形中的一个恒等式 $$\sum\cos A=4\prod\sin\dfrac A2+1,$$ 可以简单证明如下：

$$\begin{split} \sum\cos A=&2\cos\dfrac {A+B}2\cos\dfrac {A-B}2+1-2\sin^2\dfrac C2\\=&1+2\sin\dfrac C2\left(\cos\dfrac {A-B}2-\sin\dfrac C2\right)\\=&1+4\sin\dfrac A2\sin\dfrac B2\sin\dfrac C2.\end{split}$$

三角形的三个内角满足很多恒等式，比如： $$\begin{split}\sum\sin A=&4\prod\cos\dfrac A2,\\\sum\cos^2A=&1-2\prod\cos A,\\\sum\tan A=&\prod\tan A.\end{split}$$ 读者可以尝试对它们进行证明．