2017年清华大学4.29标准学术能力测试题

共25个选择题,90分钟,所有选择题均为不定项选择,选对得4分,错选得0分,漏选得2分.考试日期为2017年4月29日.

1.$a_1,a_2,\cdots,a_9$ 是数字 $1$到$9$ 的一个排列,则 $a_1a_2a_3+a_4a_5a_6+a_7a_8a_9$ 的最小值为(  )
A.$213$
B.$214$
C.$215$
D.$216$

2.设$(x^2-x+1)^{1008}=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_{2016}x^{2016}$,则$a_0+2a_1+3a_2+\cdots+2017a_{2016}$的值是(  )
A.$1008$
B.$1009$
C.$2016$
D.$2017$

3.集合$S=\{1,2,\cdots,25\}$,$A\subseteq S$,且$A$的所有子集中元素之和不同.则下列选项正确的有(  )
A.$|A|_{\max}=6$
B.$|A|_{\max}=7$
C.若$A=\{a_1,a_2,a_3,a_4,a_5\}$,则$\sum\limits_{i=1}^5{\dfrac 1{a_i}}<\dfrac 32$
D.若$A=\{a_1,a_2,a_3,a_4,a_5\}$,则$\sum\limits_{i=1}^5{\dfrac 1{a_i}}<2$

4.过椭圆$\dfrac{x^2}4+\dfrac{y^2}3=1$的右焦点$F_2$作一条直线交椭圆于$A,B$,则$\triangle F_1AB$的内切圆面积可能是(  )
A.$1$
B.$2$
C.$3$
D.$4$

5.$\{a_n\},\{b_n\}$均为等差数列,已知$a_1b_1=135$,$a_2b_2=304$,$a_3b_3=529$,则下列是$\{a_nb_n\}$中的项的有(  )
A.$810$
B.$1147$
C.$1540$
D.$3672$

6.已知函数$y=x+\dfrac tx$,过$P(1,0)$作切线交函数图象于点$M$和点$N$,记$|MN|=g(t)$,则下列说法中正确的有(  )
A.$t=\dfrac 14$时,$PM\perp PN$
B.$g(t)$在定义域内单调递增
C.$t=\dfrac 12$时,$M,N$和$(0,1)$共线
D.$g(1)=6$

7.已知数列$\{x_n\}$,其中$x_1=a$,$x_2=b$,$x_{n+1}=x_n+x_{n-1}$($a,b$是正整数),若$2008$为数列中的某一项,则$a+b$可能的取值有(  )
A.$8$
B.$9$
C.$10$
D.$11$

8.投掷一枚均匀的骰子六次,存在$k$使得$1$到$k$次的点数之和为$6$的概率是$p$,则$p$的取值范围是(  )
A.$0<p<0.25$
B.$0.25<p<0.5$
C.$0.5<p<0.75$
D.$0.75<p<1$

9.在$\triangle ABC$中,$AB=2$,$AC=3$,$BC=4$,$O$为三角形的内心,若$\overrightarrow{AO}=\lambda\overrightarrow{AB}+\mu\overrightarrow{BC}$,则$3\lambda+6\mu$的值为(  )
A.$1$
B.$2$
C.$3$
D.$4$

10.甲、乙、丙、丁四人做相互传球的游戏,第一次甲传给其他三人中的一人,第二次由拿到球的人再传给其他三人中的一人,这样的传球共进行了$4$次,则第四次球传回甲的概率是(  )
A.$\dfrac 7{27}$
B.$\dfrac 5{27}$
C.$\dfrac 78$
D.$\dfrac{21}{64}$

11.已知椭圆$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的离心率$e$的取值范围为$\left[\dfrac 1{\sqrt 3},\dfrac 1{\sqrt 2}\right]$,直线$y=-x+1$交椭圆于$M$和$N$,且$OM\perp ON$,则椭圆长轴的取值范围是(  )
A.$\left[\sqrt 5,\sqrt 6\right]$
B.$\left[\sqrt 6,\sqrt 7\right]$
C.$\left[\sqrt 7,\sqrt 8\right]$
D.$\left[\sqrt 8,\sqrt 9\right]$

12.在直角$\triangle ABC$中,以直角边$AB$,斜边$BC$为其中一边分别向三角形所在一侧作正方形$ABDE$和$BCFG$,则向量$\overrightarrow{GA}$和$\overrightarrow{DC}$的夹角为(  )
A.$45^\circ$
B.$60^\circ$
C.$90^\circ$
D.$120^\circ$

13.正方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$的棱长为$1$,底面中心为$O$,$A_1D_1,CC_1$的中点分别为$M,N$,则三棱锥$O-MB_1N$的体积为(  )
A.$\dfrac 7{24}$
B.$\dfrac 7{48}$
C.$\dfrac 5{24}$
D.$\dfrac 5{48}$

14.已知$a,b,c$为正实数,则代数式$\dfrac a{b+3c}+\dfrac b{8c+4a}+\dfrac{9c}{3a+2b}$的最小值为(  )
A.$\dfrac{47}{48}$
B.$1$
C.$\dfrac{35}{36}$
D.$\dfrac 34$

15.在$\triangle ABC$中,$\angle A=60^\circ$,$\angle B=45^\circ$,$\angle A$的角平分线长度为$2$,$CH\perp AB$于$H$,则下列正确的是(  )
A.$CH=\sqrt 3$
B.$AB=\sqrt 3+1$
C.$BC=\sqrt 6$
D.$S_{\triangle ABC}=3$

16.已知实数$x\in\left(0,\dfrac{\pi}2\right)$,则下列方程有解的是(  )
A.$\cos(\cos x)=\sin(\sin x)$
B.$\sin(\cos x)=\cos(\sin x)$
C.$\tan(\tan x)=\sin(\sin x)$
D.$\tan(\sin x)=\sin(\tan x)$

17.已知$0<x<1$,则下列正确的是(  )
A.$\dfrac{\sin x}x<\left(\dfrac{\sin x}x\right)^2<\dfrac{\sin{x^2}}{x^2}$
B.$\left(\dfrac{\sin x}x\right)^2<\dfrac{\sin x}x<\dfrac{\sin{x^2}}{x^2}$
C.$\left(\dfrac{\sin x}x\right)^2<\dfrac{\sin{x^2}}{x^2}<\dfrac{\sin x}x$
D.$\dfrac{\sin{x^2}}{x^2}<\left(\dfrac{\sin x}x\right)^2<\dfrac{\sin x}x$

18.已知$z_1=\sin\alpha+2\mathrm{i}$,$z_2=1+{\mathrm i}\cos\alpha$,则$\dfrac{13-\big|z_1+{\mathrm i}z_2\big|^2}{\big|z_1-{\mathrm i}z_2\big|}$的最小值是(  )
A.$\dfrac 12$
B.$2$
C.$\dfrac 43$
D.$\dfrac 32$

19.在空间中过点$A$作平面$\pi$的垂线,垂足为$B$,记$B=f_{\pi}(A)$.设$\alpha,\beta$是两个不同的平面.对空间中的任意一点$P$,$Q_1=f_{\beta}\left[f_{\alpha}(P)\right]$,$Q_2=f_{\alpha}\left[f_{\beta}(P)\right]$,恒有$PQ_1=PQ_2$,则(  )
A.$\alpha\perp\beta$
B.$\alpha\parallel\beta$
C.$\alpha$与$\beta$的(锐)二面角为$45^\circ$
D.$\alpha$与$\beta$的(锐)二面角为$60^\circ$

20.已知数列$\{a_n\}$,其中$a_1=a$,$a_2=b$,$a_{n+2}=a_n-\dfrac 7{a_{n+1}}$,则(  )
A.$\{a_n\}$可能递增
B.$\{a_n\}$可能递减
C.$\{a_n\}$可能为有限项
D.$\{a_n\}$可能为无限项

21.某校共$2017$名学生,其中每名学生至少要选$A,B$中的一门课,也有些学生选了两门课.已知选修$A$的人数占全校人数介于$70\%$到$75\%$之间,选$B$的人数占$40\%$到$45\%$之间.则下列正确的是(  )
A.同时选$A,B$的可能有$200$人
B.同时选$A,B$的可能有$300$人
C.同时选$A,B$的可能有$400$人
D.同时选$A,B$的可能有$500$人

22.已知$D,E$是${\mathrm{Rt}}\triangle ABC$斜边$BC$上的三等分点.设$AD=a$,$AE=b$,则实数对$(a,b)$可以是(  )
A.$(1,1)$
B.$(1,2)$
C.$(2,3)$
D.$(3,4)$

23.已知函数$f(x)=x^2+2x$,若存在实数$t$,当$x\in[1,m)$时,有$f(x+t)\leqslant 3x$恒成立,则实数$m$可以等于(  )
A.$3$
B.$6$
C.$9$
D.$12$

24.设$x,y\in\mathbb{R}$,函数$f(x,y)=x^2+6y^2-2xy-14x-6y+72$的值域为$M$,则(  )
A.$1\in M$
B.$2\in M$
C.$3\in M$
D.$4\in M$

25.若$N$的三个子集$A,B,C$满足$|A\cap B|=|B\cap C|=|C\cap A|=1$,且$A\cap B\cap C=\varnothing$,则称$(A,B,C)$为$N$的“有序子集列”.现有$N=\{1,2,3,4,5,6\}$,则$N$有(  )个有序子集列.
A.$540$
B.$1280$
C.$3240$
D.$7680$

此条目发表在自招竞赛分类目录。将固定链接加入收藏夹。

2017年清华大学4.29标准学术能力测试题》有 2 条评论

  1. wwj320说:

    好东西~~~~谢谢!

发表评论