2017年清华大学4.29标准学术能力测试题

共25个选择题，90分钟，所有选择题均为不定项选择，选对得4分，错选得0分，漏选得2分．考试日期为2017年4月29日．

1．$a_1,a_2,\cdots,a_9$ 是数字 $1$到$9$ 的一个排列，则 $a_1a_2a_3+a_4a_5a_6+a_7a_8a_9$ 的最小值为(　　)
A．$213$
B．$214$
C．$215$
D．$216$

2．设$(x^2-x+1)^{1008}=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_{2016}x^{2016}$，则$a_0+2a_1+3a_2+\cdots+2017a_{2016}$的值是(　　)
A．$1008$
B．$1009$
C．$2016$
D．$2017$

3．集合$S=\{1,2,\cdots,25\}$，$A\subseteq S$，且$A$的所有子集中元素之和不同．则下列选项正确的有(　　)
A．$|A|_{\max}=6$
B．$|A|_{\max}=7$
C．若$A=\{a_1,a_2,a_3,a_4,a_5\}$，则$\sum\limits_{i=1}^5{\dfrac 1{a_i}}<\dfrac 32$
D．若$A=\{a_1,a_2,a_3,a_4,a_5\}$，则$\sum\limits_{i=1}^5{\dfrac 1{a_i}}<2$

4．过椭圆$\dfrac{x^2}4+\dfrac{y^2}3=1$的右焦点$F_2$作一条直线交椭圆于$A,B$，则$\triangle F_1AB$的内切圆面积可能是(　　)
A．$1$
B．$2$
C．$3$
D．$4$

5．$\{a_n\},\{b_n\}$均为等差数列，已知$a_1b_1=135$，$a_2b_2=304$，$a_3b_3=529$，则下列是$\{a_nb_n\}$中的项的有(　　)
A．$810$
B．$1147$
C．$1540$
D．$3672$

6．已知函数$y=x+\dfrac tx$，过$P(1,0)$作切线交函数图象于点$M$和点$N$，记$|MN|=g(t)$，则下列说法中正确的有(　　)
A．$t=\dfrac 14$时，$PM\perp PN$
B．$g(t)$在定义域内单调递增
C．$t=\dfrac 12$时，$M,N$和$(0,1)$共线
D．$g(1)=6$

7．已知数列$\{x_n\}$，其中$x_1=a$，$x_2=b$，$x_{n+1}=x_n+x_{n-1}$（$a,b$是正整数），若$2008$为数列中的某一项，则$a+b$可能的取值有(　　)
A．$8$
B．$9$
C．$10$
D．$11$

8．投掷一枚均匀的骰子六次，存在$k$使得$1$到$k$次的点数之和为$6$的概率是$p$，则$p$的取值范围是(　　)
A．$0<p<0.25$
B．$0.25<p<0.5$
C．$0.5<p<0.75$
D．$0.75<p<1$

9．在$\triangle ABC$中，$AB=2$，$AC=3$，$BC=4$，$O$为三角形的内心，若$\overrightarrow{AO}=\lambda\overrightarrow{AB}+\mu\overrightarrow{BC}$，则$3\lambda+6\mu$的值为(　　)
A．$1$
B．$2$
C．$3$
D．$4$

10．甲、乙、丙、丁四人做相互传球的游戏，第一次甲传给其他三人中的一人，第二次由拿到球的人再传给其他三人中的一人，这样的传球共进行了$4$次，则第四次球传回甲的概率是(　　)
A．$\dfrac 7{27}$
B．$\dfrac 5{27}$
C．$\dfrac 78$
D．$\dfrac{21}{64}$

11．已知椭圆$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的离心率$e$的取值范围为$\left[\dfrac 1{\sqrt 3},\dfrac 1{\sqrt 2}\right]$，直线$y=-x+1$交椭圆于$M$和$N$，且$OM\perp ON$，则椭圆长轴的取值范围是(　　)
A．$\left[\sqrt 5,\sqrt 6\right]$
B．$\left[\sqrt 6,\sqrt 7\right]$
C．$\left[\sqrt 7,\sqrt 8\right]$
D．$\left[\sqrt 8,\sqrt 9\right]$

12．在直角$\triangle ABC$中，以直角边$AB$，斜边$BC$为其中一边分别向三角形所在一侧作正方形$ABDE$和$BCFG$，则向量$\overrightarrow{GA}$和$\overrightarrow{DC}$的夹角为(　　)
A．$45^\circ$
B．$60^\circ$
C．$90^\circ$
D．$120^\circ$

13．正方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$的棱长为$1$，底面中心为$O$，$A_1D_1,CC_1$的中点分别为$M,N$，则三棱锥$O-MB_1N$的体积为(　　)
A．$\dfrac 7{24}$
B．$\dfrac 7{48}$
C．$\dfrac 5{24}$
D．$\dfrac 5{48}$

14．已知$a,b,c$为正实数，则代数式$\dfrac a{b+3c}+\dfrac b{8c+4a}+\dfrac{9c}{3a+2b}$的最小值为(　　)
A．$\dfrac{47}{48}$
B．$1$
C．$\dfrac{35}{36}$
D．$\dfrac 34$

15．在$\triangle ABC$中，$\angle A=60^\circ$，$\angle B=45^\circ$，$\angle A$的角平分线长度为$2$，$CH\perp AB$于$H$，则下列正确的是(　　)
A．$CH=\sqrt 3$
B．$AB=\sqrt 3+1$
C．$BC=\sqrt 6$
D．$S_{\triangle ABC}=3$

16．已知实数$x\in\left(0,\dfrac{\pi}2\right)$，则下列方程有解的是(　　)
A．$\cos(\cos x)=\sin(\sin x)$
B．$\sin(\cos x)=\cos(\sin x)$
C．$\tan(\tan x)=\sin(\sin x)$
D．$\tan(\sin x)=\sin(\tan x)$

17．已知$0<x<1$，则下列正确的是(　　)
A．$\dfrac{\sin x}x<\left(\dfrac{\sin x}x\right)^2<\dfrac{\sin{x^2}}{x^2}$
B．$\left(\dfrac{\sin x}x\right)^2<\dfrac{\sin x}x<\dfrac{\sin{x^2}}{x^2}$
C．$\left(\dfrac{\sin x}x\right)^2<\dfrac{\sin{x^2}}{x^2}<\dfrac{\sin x}x$
D．$\dfrac{\sin{x^2}}{x^2}<\left(\dfrac{\sin x}x\right)^2<\dfrac{\sin x}x$

18．已知$z_1=\sin\alpha+2\mathrm{i}$，$z_2=1+{\mathrm i}\cos\alpha$，则$\dfrac{13-\big|z_1+{\mathrm i}z_2\big|^2}{\big|z_1-{\mathrm i}z_2\big|}$的最小值是(　　)
A．$\dfrac 12$
B．$2$
C．$\dfrac 43$
D．$\dfrac 32$

19．在空间中过点$A$作平面$\pi$的垂线，垂足为$B$，记$B=f_{\pi}(A)$．设$\alpha,\beta$是两个不同的平面．对空间中的任意一点$P$，$Q_1=f_{\beta}\left[f_{\alpha}(P)\right]$，$Q_2=f_{\alpha}\left[f_{\beta}(P)\right]$，恒有$PQ_1=PQ_2$，则(　　)
A．$\alpha\perp\beta$
B．$\alpha\parallel\beta$
C．$\alpha$与$\beta$的（锐）二面角为$45^\circ$
D．$\alpha$与$\beta$的（锐）二面角为$60^\circ$

20．已知数列$\{a_n\}$，其中$a_1=a$，$a_2=b$，$a_{n+2}=a_n-\dfrac 7{a_{n+1}}$，则(　　)
A．$\{a_n\}$可能递增
B．$\{a_n\}$可能递减
C．$\{a_n\}$可能为有限项
D．$\{a_n\}$可能为无限项

21．某校共$2017$名学生，其中每名学生至少要选$A,B$中的一门课，也有些学生选了两门课．已知选修$A$的人数占全校人数介于$70\%$到$75\%$之间，选$B$的人数占$40\%$到$45\%$之间．则下列正确的是(　　)
A．同时选$A,B$的可能有$200$人
B．同时选$A,B$的可能有$300$人
C．同时选$A,B$的可能有$400$人
D．同时选$A,B$的可能有$500$人

22．已知$D,E$是${\mathrm{Rt}}\triangle ABC$斜边$BC$上的三等分点．设$AD=a$，$AE=b$，则实数对$(a,b)$可以是(　　)
A．$(1,1)$
B．$(1,2)$
C．$(2,3)$
D．$(3,4)$

23．已知函数$f(x)=x^2+2x$，若存在实数$t$，当$x\in[1,m)$时，有$f(x+t)\leqslant 3x$恒成立，则实数$m$可以等于(　　)
A．$3$
B．$6$
C．$9$
D．$12$

24．设$x,y\in\mathbb{R}$，函数$f(x,y)=x^2+6y^2-2xy-14x-6y+72$的值域为$M$，则(　　)
A．$1\in M$
B．$2\in M$
C．$3\in M$
D．$4\in M$

25．若$N$的三个子集$A,B,C$满足$|A\cap B|=|B\cap C|=|C\cap A|=1$，且$A\cap B\cap C=\varnothing$，则称$(A,B,C)$为$N$的“有序子集列”．现有$N=\{1,2,3,4,5,6\}$，则$N$有(　　)个有序子集列．
A．$540$
B．$1280$
C．$3240$
D．$7680$