每日一题[1017]发掘规律

设$u,v,w,x_n$($n\in\mathbb N^*$)均为实数，若$u\cdot x_n,v+|x_{n+1}|,w\cdot x_{n+2}$成等差数列($n\in\mathbb N^*$)，则称数列$\{x_n\}$具有性质$T(u,v,w)$，已知$y_n\ne 0$($n\in\mathbb N^*$)，且数列$\{y_n\}$具有性质$T(2,0,2)$，如果存在$\theta\in\left(\dfrac{3\pi}2,2\pi\right)$使得$y_1=\sin\theta$，$y_2=\cos\theta$，那么在数列$\{y_n\}$的前$2017$项中，值为负数的项的个数为________．

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正确答案是$449,673$．

分析与解　根据题意，有$y_{n+2}=|y_{n+1}|-y_n,n\in\mathbb N^*$．由于$\theta$在第四象限，于是$y_1<0$，$y_2>0$，记$y_1=-a$，$y_2=b$，$a,b>0$．则

$$\begin{aligned}y_3&=b+a,\\y_4&=|b+a|-b=a,\\y_5&=|a|-(b+a)=-b,\\y_6&=|-b|-a=b-a,\\y_7&=|b-a|-(-b)=|b-a|+b,\\y_9&=\big||b-a|+b\big|-(b-a)=|b-a|+a,\\y_{10}&=\big||b-a|+a\big|-\big(|b-a|+b\big)=a-b,\\y_{11}&=|a-b|-\big(|b-a|+a\big)=-a,\\y_{12}&=|-a|-(a-b)=b,\end{aligned}$$ 因此数列$\{y_n\}$以$9$为周期，且每个周期中的负数有$2$个（$a=b$）或$3$（$a\ne b$）个．

因此所求值为负数的项的个数为$449$或$673$．