每日一题[1011]各有千秋

已知$a,b>0$，且$a+\dfrac 2a+3b+\dfrac 4b=10$，则$ab$的取值范围是________．

正确答案是$\left[1,\dfrac 83\right]$．

分析与解　判别式法　令$ab=x$，则 $$a+\dfrac 2a+\dfrac {3x}{a}+\dfrac{4a}{x}=10,$$ 即 $$(x+4)a^2-10x\cdot a+3x^2+2x=0,$$ 由判别式 $$\Delta=(-10x)^2-4(x+4)(3x^2+2x)\geqslant 0,$$ 可得 $$x(3x^2-11x+8)\leqslant 0,$$ 解得$1\leqslant x\leqslant \dfrac 83$．而当$a=1$时，$x=1$；当$a=2$时，$x=\dfrac 83$；结合连续性可知所求的取值范围是$\left[1,\dfrac 83\right]$．

均值不等式　一方面，有 $$10=a+\dfrac 1a+\dfrac 1a+b+b+b+\dfrac 1b+\dfrac 1b+\dfrac 1b+\dfrac 1b\geqslant 10\left(\dfrac{1}{ab}\right)^{\frac 1{10}},$$ 于是$ab\geqslant 1$，等号当$(a,b)=(1,1)$时取得．

另一方面，有 $$10=\dfrac a2+\dfrac a2+\dfrac 2a+\dfrac {3b}4+\dfrac {3b}4+\dfrac{3b}4+\dfrac{3b}4+\dfrac 4{3b}+\dfrac 4{3b}+\dfrac 4{3b}\geqslant 10\left(\dfrac{3ab}{8}\right)^{\frac 1{10}},$$ 于是$ab\leqslant \dfrac 83$，等号当$(a,b)=\left(2,\dfrac 43\right)$时取得．

综上所述，所求的取值范围是$\left[1,\dfrac 83\right]$．