每日一题[1009]作图与论证

已知三条平行直线$a,b,c$($b$在$a,c$之间)，点$A$在直线$a$上，求作正$\triangle ABC$，使顶点$B$在直线$b$上，顶点$C$在直线$c$上．

分析与解　如图．

作法
(1) 作$AF\perp c$且分别交直线$b,c$于点$G,F$；
(2) 以$AF$为底边作正三角形$ADF$；
(3) 过$D$作$AF$的垂线，垂足为$H$；
(4) 将射线$AD$按$\angle GDH$旋转交直线$b$于点$B$；
(5) 以$AB$为底边作正三角形$ABC$．

证明　由于$\triangle ADF$与$\triangle ABC$均为正三角形，因此$\triangle ADB$与$\triangle AFC$旋转全等．考虑到 $$\angle BAD=\angle GDH=\angle BGD,$$ 于是$A,G,B,D$四点共圆，进而可得$\angle ADB+\angle AGB=180^\circ$，于是$\angle ADB=90^\circ$，于是 $$\angle AFC=\angle ADB=90^\circ,$$ 于是$C\in c$，这就证明了作法的正确性．