每日一题[1003]面积最值

设$P$为椭圆$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a>b>0$)上的点，$A,B$分别为双曲线$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$两渐近线上的动点，且$\overrightarrow{AP}=\lambda \overrightarrow{PB}$（$\lambda$为常数）．设$O$为坐标原点，若$\triangle AOB$面积的最大值为$\dfrac{a^2+b^2}{a+b}\cdot \dfrac{(1+\lambda)^2}{4|\lambda|}$，则$\dfrac 1a+\dfrac 7b$的取值范围是______．

正确答案是$(7,9]$．

分析与解　设$A(am,bm)$，$B(an,-bn)$，则根据定比分点坐标公式，有有 $$P\left(a\cdot \dfrac{m+\lambda n}{1+\lambda },b\cdot \dfrac{m-\lambda n}{1-\lambda}\right),$$ 因此由$P$点在椭圆上可得 $$\left(\dfrac{m+\lambda n}{1+\lambda }\right)^2+\left(\dfrac{m-\lambda n}{1+\lambda}\right)^2=1,$$ 即 $$m^2+\lambda^2n^2=\dfrac 12(1+\lambda)^2,$$ 于是 $$\dfrac 12(1+\lambda)^2\geqslant 2|\lambda|\cdot |mn|,$$ 即 $$|mn|\leqslant \dfrac{(1+\lambda)^2}{4|\lambda|}.$$ 另一方面，由面积坐标公式，可得 $$\triangle AOB=ab\cdot |mn|\leqslant ab \cdot \dfrac{(1+\lambda)^2}{4|\lambda|},$$ 因此可得 $$\dfrac{a^2+b^2}{a+b}=ab,$$ 进而 $$\dfrac 1a+\dfrac 7b=\left(\dfrac 1a+\dfrac 7b\right)\cdot ab \cdot \dfrac{a+b}{a^2+b^2}=\dfrac{7a^2+8ab+b^2}{a^2+b^2}=\dfrac{7x^2+8x+1}{x^2+1},$$ 其中$x=\dfrac ab>1$．右侧函数当$x\in (1,2)$时单调递增， 当$x\in (2,+\infty)$时单调递减，因此所求取值范围是$(7,9]$．