每日一题[1001]必胜策略

甲乙两人在沙滩上玩鹅卵石游戏，现有 $15$ 块鹅卵石，甲乙两人轮流从石堆中拿出鹅卵石，每次每人拿的石块数只能是 $1,2$ 或 $3$ ，直到鹅卵石全部拿完游戏结束．如果当游戏结束时，总共拿到奇数个鹅卵石的人获胜，请问是否有必胜策略．

　设共有 $n$ 块鹅卵石，先考虑简单情形．

当 $n=4$ 时，先手拿 $3$ 块，必然能拿到奇数块鹅卵石；后手必然能拿到奇数块鹅卵石．

当 $n=5$ 时，先手拿 $1$ 块，必然能拿到偶数块鹅卵石；后手必然能拿到奇数块鹅卵石．

当 $n=6$ 时，先手若拿 $1$ 块，就转化成了 $n=5$ 时的后手，必然能拿到偶数块鹅卵石；先手若拿 $2$ 块，就转化成了 $n=4$ 时的后手，必然能拿到奇数块鹅卵石；此时后手没有任何保证拿到奇数块鹅卵石或偶数块鹅卵石的策略（任人宰割）．

当 $n=7$ 时，先手若拿 $1$ 块，就转化成了 $n=6$ 的后手，任人宰割；先手若拿 $2$ 块，就转化成了 $n=5$ 时的后手，必然能拿到奇数块鹅卵石；先手若拿 $3$ 块，就转化成了 $n=4$ 时的后手，必然能拿到偶数块鹅卵石；此时后手任人宰割；

依次类推，可得下表．
因此先手有必胜策略，先拿 $2$ 块．

　限定石块数为奇数，则当 $n=4k+3$ 或 $n=8k+1$ 时，先手必胜．必得的意思是不管对方怎么拿，我一定有办法得到这样的结果．

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