每日一题[999]构造数列

求证：$\sqrt{2012+\sqrt{2011+\sqrt{\cdots+\sqrt{2+\sqrt 1}}}}<46$．

证明　设数列$\{a_n\}$满足$a_1=1$，且当$n\geqslant 2$时，有 $$a_n=\sqrt{n+a_{n-1}},$$ 则原式即$a_{2012}$．下面给出

引理　如上定义的$\{a_n\}$满足$a_n<\sqrt{n+\sqrt{2n}}$，$n\in\mathbb N^*$．

证明　当$n=1$时，命题显然成立；

假设命题当$n=k$($k\in\mathbb N^*$)时成立，则有$a_k<\sqrt{k+\sqrt{2k}}$．

当$n=k+1$时，有 $$\begin{split} a_{k+1}=&\sqrt{k+1+a_k}\\<&\sqrt{k+1+\sqrt{k+\sqrt{2k}}}\\<&\sqrt{k+1+\sqrt{2(k+1)}},\end{split}$$ 因此命题对$n=k+1$也成立；

综上所述，引理得证．

根据引理，可得 $$a_{2012}<\sqrt{2012+\sqrt{2\cdot 2012}}<46,$$ 原命题得证．