每日一题[989]层层转化求最值

已知$a,b,c,d\geqslant 0$且$a+b+c+d=4$，求$m=\dfrac{a}{b^3+4}+\dfrac{b}{c^3+4}+\dfrac{c}{d^3+4}+\dfrac{d}{a^3+4}$的最大值与最小值．

正确答案是最大值为$1$，最小值为$\dfrac 23$．

分析与解　最大值　根据题意，有 $$m\leqslant \dfrac a4+\dfrac b4+\dfrac c4+\dfrac d4=1,$$ 等号当$(a,b,c,d)=(0,0,0,4),(0,2,0,2)$时可以取得，因此$m$的最大值为$1$．

最小值　根据题意，有 $$\begin{split}m&=\sum_{cyc}\dfrac{a\left(b^3+4\right)-ab^3}{4\left(b^3+4\right)}\\&=\sum_{cyc}\dfrac a4-\dfrac 14\sum_{cyc}\dfrac{ab^3}{b^3+4}\\&=1-\dfrac 14\sum_{cyc}\dfrac{ab^3}{\dfrac 12b^3+\dfrac 12b^3+4}\\&\geqslant 1-\dfrac 14\sum_{cyc}\dfrac{ab^3}{3b^2}\\&=1-\dfrac 1{12}(ab+bc+cd+da)\\&=1-\dfrac 1{12}(a+c)(b+d)\\&\geqslant 1-\dfrac 1{12}\left[\dfrac {(a+c)+(b+d)}2\right]^2\\&=\dfrac 23,\end{split}$$ 等号当$(a,b,c,d)=(2,2,0,0)$时可以取得．因此$m$的最小值为$\dfrac 23$．

下面给出一道练习：

已知$a,b,c>0$，$abc=1$，求$p=\dfrac{bc}{1+b^2+c^2}+\dfrac{ca}{1+c^2+a^2}+\dfrac{ab}{1+a^2+b^2}$的最大值．

解　根据题意有 $$\begin{split}p&\leqslant \sum_{cyc}\dfrac{bc}{1+2bc}\\&=\sum_{cyc}\dfrac{1}{a+2}\\&=\dfrac{12+4(a+b+c)+ab+bc+ca}{8+4(a+b+c)+2(ab+bc+ca)+abc},\end{split}$$ 而 $$ab+bc+ca\geqslant 3\left(ab\cdot bc\cdot ca\right)^{\frac 13}=3,$$ 于是有$p\leqslant 1$．又当$(a,b,c)=(1,1,1)$时取得等号，因此所求$p$的最大值为$1$．