每日一题[985]方程的根与函数零点

函数$f(x)=a\sin x+b\cos x$，其中$a,b\in\mathbb N$且$a>2$，且满足 $$\left\{x\mid f(x)=0\right\}=\left\{ x\mid f(f(x))=0\right\},$$ 则方程$\left(\dfrac{f([x])}3\right)^2+\left(\dfrac{f(\{x\})}3\right)^2-1=0$在$x\in (0,30)$上的实数解个数为________．（其中$[x]$和$\{x\}$分别表示$x$的整数部分和小数部分．）

正确答案是$19$．

分析与解　由于方程$f(x)=0$必然有解，设$\alpha$是它的一个解，则根据题意，有 $$f(f(\alpha))=f(0)=0,$$ 因此$b=0$．此时$f(f(x))=0$等价于 $$a\sin f(x)=0,$$ 也即 $$f(x)=k\pi,k\in\mathbb Z,$$ 因此 $$\max\{\left|f(x)\right|\}<\pi,$$ 进而$a=3$．

此时方程 $$\left(\dfrac{f([x])}3\right)^2+\left(\dfrac{f(\{x\})}3\right)^2-1=0$$ 即 $$\sin^2[x]+\sin^2\{x\}=1.$$ 当$k\leqslant x<k+1$($k\in\mathbb N$)时，该方程即 $$\sin ^2(x-k)=1-\sin^2k,$$ 考虑到左侧函数的值域为$\left[0,\sin^21\right)$，因此当$1-\sin^2k\in \left[0,\sin^21\right)$时该方程在区间$[k,k+1)$上有一实数解．解上述关于$k$的不等式可得 $$\dfrac{\pi}2-1+2n\pi<k<\dfrac{\pi}2+1+2n\pi$$ 或 $$\dfrac{3\pi}2-1+2n\pi<k<\dfrac{3\pi}2+1+2n\pi,$$ 其中$n\in\mathbb Z$．

注意到每个区间长度均为$2$，且当$n=4$时，区间 $$\left(\dfrac{3\pi}2-1+2n\pi,\dfrac{3\pi}2+1+2n\pi\right)$$ 约为$(28.8,30.8)$，因此当$n=0,1,2,3,4$时，共对应$19$个$k$，因此所求的实数解的个数为$19$．