每日一题[984]正弦函数的性质

已知$n\in\mathbb N^*$，$f(n)=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\sin k^\circ$，$g(n)=\displaystyle\prod_{k=1}^{n}\sin k^\circ$．求所有使得$f(n)=g(n)$的正整数$n$构成的集合．

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正确答案是$\{1\}\cup\{360k\mid k\in\mathbb N^*\}\cup\{360k-1\mid k\in\mathbb N^*\}.$．

分析与解　根据题意，有

$$f(n)\begin{cases} =\sin 1^\circ & n=1,\\ \geqslant\sin 1^\circ,& 360\nmid n\land 360\nmid (n+1),\\ =0,& 360\mid n\lor 360\mid (n+1), \end{cases}$$ 而 $$g(n)\begin{cases}=\sin 1^\circ, & n=1,\\ \in \left(0,\sin 1^\circ\right) ,&2\leqslant n\leqslant 179,\\ =0,& n\geqslant 180,\end{cases}$$ 于是所有使得$f(n)=g(n)$的正整数$n$构成的集合为 $$\{1\}\cup\{360k\mid k\in\mathbb N^*\}\cup\{360k-1\mid k\in\mathbb N^*\}.$$

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下面给出两道练习：

(1)若 $S_n=\sin {\dfrac{{\mathrm \pi } }{7}}+\sin {\dfrac{2{\mathrm \pi } }{7}}+\cdots+\sin {\dfrac{n{\mathrm \pi } }{7}}\left(n\in {\mathbb{N^*}}\right)$，则在 $S_1,S_2,\cdots ,S_{100}$ 中，正数的个数是________；

(2)设 $a_n={\dfrac{1}{n}}\sin {\dfrac{n{\mathrm \pi} }{25}}$，$S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n$．在 $S_1$，$S_2$，$\cdots$，$S_{100 }$ 中，正数的个数是_______．

解　(1)$86$；如图，当 $n=13,14,27,28,\cdots$ 时，$S_n$ 为非正数，也就是说每 $14$ 个数中出现 $2$ 个非正数．

(2)$100$；

因为 $f\left(n\right)=\sin \dfrac{n{\mathrm \pi} }{25}$ 的周期 $T=50$，由正弦函数性质可知，

$$a_1,a_2,\cdots,a_{24}>0,a_{25}=0,a_{26},a_{27},\cdots,a_{49}<0,a_{50}=0,$$ 又 $g\left(n\right)=\dfrac{1}{n}$ 单调递减，所以 $$|a_{26}|<a_1,|a_{27}|<a_2,\cdots,|a_{49}|<a_{24} .$$ 从而可判断 $S_1$，$S_2$，$\cdots$，$S_{100 }$ 全为正数．