每日一题[979]放缩与估计

设函数$f(x)={\rm e}^x-x$，$g(x)=-kx^3+kx^2-x+1$．
(1)求$f(x)$的最小值；
(2)若使得对任意$x\in [0,1]$均有$f(x)\geqslant g(x)$成立的$k$的最大值为$\lambda$，求证：$5<\lambda<5.2$．

分析与解　(1) 函数$f(x)$的导函数 $$f'(x)={\rm e}^x-1,$$ 于是当$x=0$时，$f(x)$取得极小值，亦为最小值$f(0)=1$．

(2) 题意等价于 $$\forall x\in (0,1),k\leqslant \dfrac{{\rm e}^x-1}{x^2-x^3}.$$ 记右侧函数为$\varphi(x)$，于是$\lambda$为$\varphi(x)$在$(0,1)$上的下确界．

一方面，有 $$\lambda\leqslant \varphi\left(\dfrac 12\right)=8\left(\sqrt{\rm e}-1\right)<5.2.$$

另一方面，考虑证明在$x\in (0,1)$上，有$\varphi(x)>5$，即 $$\forall x\in (0,1),{\rm e}^x\geqslant 5x^2-5x^3+1.$$ 事实上，容易证明 $$\forall x\in (0,1),{\rm e}^x>1+x+\dfrac 12x^2+\dfrac 16x^3,$$ 因此只需要证明 $$\forall x\in (0,1),1+x+\dfrac 12x^2+\dfrac 16x^3\geqslant 5x^2-5x^3+1,$$ 也即 $$\forall x\in (0,1),x\left(31x^2-27x+6\right)\geqslant 0,$$ 而右侧二次函数部分的判别式$\Delta=-15<0$，因此不等式成立．这就证明了$\lambda>5$．

综上所述，原命题得证．

注　$8\left(\sqrt{\rm e}-1\right)<5.2$即${\rm e}<\dfrac{1089}{400}=2.7225$．