每日一题[978]切线放缩

求证：${\rm e}^x-2x\ln x-x>1$．

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分析与解        题中不等式即

$$\dfrac{{\rm e}^x-1}{x}> 2\ln x+1.$$ 取左边函数在$x=1$处的切线，有 $$\dfrac{{\rm e}^x-1}{x}\geqslant x+{\rm e}-2.$$ 取右边函数在$x=2$处的切线，有 $$2\ln x+1\leqslant x+2\ln 2-1,$$ 因此 $$\dfrac{{\rm e}^x-1}{x}\geqslant x+{\rm e}-2>x+2\ln 2-1\geqslant 2\ln x+1,$$ 原不等式得证．

注        要证明$\dfrac{{\rm e}^x-1}{x}\geqslant x+{\rm e}-2$，只需要构造$f(x)=\dfrac{{\rm e}^x-1}{x}-x$，则

$$f'(x)=\dfrac {({\rm e}^x-x-1)(x-1)}{x^2},$$ 从而知$f(x)$在$(0,1)$上单调递减，在$(1,+\infty)$上单调递增，于是 $$f(x)\geqslant f(1)={\rm e}-2.$$
要证明$2\ln x+1\leqslant x+2\ln 2-1$，只需要构造$g(x)=2\ln x+1-x,$则 $$g'(x)=\dfrac 2x-1=\dfrac {2-x}{x},$$ 从而知 $$g(x)\leqslant g(2)=2\ln 2-1.$$