每日一题[974]数列的新定义问题

对于无穷数列$\left\{a_n\right\}$，记$T=\left\{x\left|\ x=a_j-a_i,\ i<j\right.\right\}$，若数列$\left\{a_n\right\}$满足：存在$t\in T$，使得只要$a_m-a_k=t$（$m,k\in \mathbb{N}^{*}$且$m>k$），必有$a_{m+1}-a_{k+1}=t$，则称数列$\left\{a_n\right\}$具有性质$P(t)$．
(1) 若数列$\left\{a_n\right\}$满足 $$a_n=\begin{cases}2n,&n \leqslant 2,\\2n-5,&n \geqslant 3,\end{cases}$$ 判断数列$\left\{a_n\right\}$是否具有性质$P(2)$？是否具有性质$P(4)$？（只需写出判断结果）
(2) 求证：$T$是有限集是数列$\left\{a_n\right\}$具有性质$P(0)$的必要不充分条件；
(3) 已知$\left\{a_n\right\}$是各项均为正整数的数列，且$\left\{a_n\right\}$既具有性质$P(2)$，又具有性质$P(5)$，求证：存在整数$N$，使得$a_N,a_{N+1},a_{N+2},\cdots$是等差数列．

分析与解　(1) 数列$\left\{a_n\right\}$不具有性质$P(2)$，具有性质$P(4)$．

(2) 不充分性　对于周期数列 $$1,1,2,2,1,1,2,2,\cdots,$$ $T=\{0,1\}$是有限集，但是由于$a_2-a_1=0$，$a_3-a_2=1$，所以不具有性质$P(0)$．

必要性　因为数列$\left\{a_n\right\}$具有性质$P(0)$，所以一定存在
$m,k\in \mathbb{N}^{*}$且$m>k$，满足$a_m-a_k=0$，即$a_m=a_k$．

记$d=m-k\in \mathbb{N}^{*}$，由性质$P(0)$的含义可得对任意$n\in \mathbb{N}^{*}$，均有 $$\begin{align*}a_{k}&=a_{k+nd},\\a_{k+1}&=a_{k+1+nd},\\ &\vdots\\a_{m-1}&=a_{m-1+nd},\end{align*}$$ 所以数列$\left\{a_n\right\}$中至多有$m-1$个不同的项，进而集合$T$中至多有$\mathrm{C}_{m-1}^{2}+1$个元素，
故$T$是有限集．

(3) 设$a_{m_1}-a_{k_1}=2$，$a_{m_2}-a_{k_2}=5$，$d_1=m_1-k_1$，$d_2=m_2-k_2$，$m=\max\{m_1,m_2\}$．不影响问题的本质，将$a_1,a_2,\cdots,a_{m-1}$从数列$\{a_n\}$中去掉，然后将所有项都减去$a_m$得到新的数列，记为 $$\{a_n\}:0,a_1,a_2,\cdots,$$ 那么有 $$a_{kd_1}=2k,a_{kd_2}=5k,$$ 考虑到 $$a_{kd_1d_2}=2kd_2=5kd_1,k\in\mathbb N,$$ 于是$d_1=2t$，$d_2=5t$，其中$t\in\mathbb N^*$．这样我们就有 $$a_{2kt}=2k,a_{5kt}=5k,k\in\mathbb N.$$ 接下来证明$a_{kt}=k$($k\in\mathbb N$)．由于 $$a_{n+kt}=a_{n+5kt-2kt-2kt}=a_n+5k-2k-2k=a_n+k,$$ 因此用数学归纳法可知该命题成立．也可以令$n=kt$得到$a_{kt}=k$．
最后我们证明$t=1$．设$a_1=p$，那么必然存在$x\in\mathbb N$，使得$a_{1+xt}=y\in\mathbb{N}$，从而有 $$y=a_{yt}=a_{1+xt}.$$ 此时考虑到 $$a_{yt+2t}-a_{1+xt}=a_{yt+2t}-a_{yt}=2,$$ 记 $$(yt+2t)-(1+xt)=d,$$ 那么 $$a_{yt+d\cdot 2t}=a_{yt}+2\cdot 2t=a_{yt}+2\cdot d,$$ 因此$d=2t$，从而$(y-x)t=1$，这就意味着$t=1$．
综上所述，原命题得证．