每日一题[970]椭圆的几何性质

已知$P$为椭圆$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$上位于第一象限内的点，$F_1,F_2$为椭圆的左、右焦点，则$\angle F_1PF_2$的角平分线与$y$轴公共点的纵坐标$t$的取值范围是_________．

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分析与解　设$P(m,n)$，$m,n>0$，则点$P$处的切线斜率$k=-\dfrac{b^2m}{a^2n}$，根据椭圆的光学性质，可得角平分线的斜率为$\dfrac{a^2n}{b^2m}$，于是有

$$\dfrac{n-t}{m-0}=\dfrac{a^2n}{b^2m},$$ 于是 $$t=-\dfrac{c^2}{b^2}\cdot n,$$ 其中$c$为椭圆的半焦距．考虑到$n$的取值范围是$(0,b)$，于是$t$的取值范围是$\left(-\dfrac{c^2}b,0\right)$．另法　设$\angle F_1PF_2$与$x$轴的交点为$S(s,0)$，由角平分线定理及焦半径公式得 $$\dfrac {s+c}{c-s}=\dfrac {a+em}{a-em},$$ 于是解得$s=\dfrac {c^2}{a^2}m$，由截距坐标公式得 $$t=\dfrac {s\cdot n-m\cdot 0}{s-m}=\dfrac {\dfrac {c^2}{a^2}m\cdot n}{\dfrac {c^2}{a^2}m-m}=-\dfrac {c^2}{b^2}n\in\left(-\dfrac {c^2}{b},0\right).$$