每日一题[969]代数式的范围

已知函数$f(x)=ax+b$满足对任意的实数$x\in[0,1]$,都有$|f(x)|\leqslant 1$,则$(a+1)(b+1)$的取值范围是_______.


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正确答案是$\left[-2,\dfrac 94\right]$.

分析与解 根据题意,有$|f(0)|\leqslant 1$且$|f(1)|\leqslant 1$,即$-1\leqslant b\leqslant 1$且$-1\leqslant a+b\leqslant 1$.

一方面,有\[\begin{split} (a+1)(b+1)=&ab+a+b+1\\\leqslant& \left(\dfrac{a+b}2\right)^2+a+b+1\\=&\dfrac 14(a+b+2)^2\leqslant \dfrac 94,\end{split} \]等号当$(a,b)=\left(\dfrac 12,\dfrac 12\right)$时取得,因此$(a+1)(b+1)$的最大值为$\dfrac 94$.

另一方面,有\[\begin{split} (a+1)(b+1)=&(a+1)b+a+1\\\geqslant &\min\{0,2a+2\}=-2,\end{split} \]等号当$(a,b)=(-2,1)$时取得,因此$(a+1)(b+1)$的最小值为$-2$.

综上所述,所求的取值范围是$\left[-2,\dfrac 94\right]$.

另法 本题也可以用规划的想法解决.

令$a'=a+1,b'=b+1$,则有$$\begin{cases} 0\leqslant b'\leqslant 2,\\1\leqslant a'+b'\leqslant 3,\end{cases} $$要求$a'b'$的取值范围.

将$(a',b')$满足的区域作出:因为曲线$xy=m$($m$为非零常数)对应反比例函数的图象,所以借助图象很容易得到$a'b'\in\left[-2,\dfrac 94\right]$.

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