每日一题[961]四边形的面积

已知平面四边形$ABCD$的四边长分别为$AB=a$，$BC=b$，$CD=c$，$DA=d$，且$\cos (A+C)=\cos (B+D)=m$，求四边形$ABCD$的面积$S$．

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正确答案是$S=\dfrac 14\sqrt{2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2d^2+2d^2a^2+2a^2c^2+2b^2d^2-\left(a^4+b^4+c^4+d^4\right)-8abcdm}.$

分析与解    连接$BD$，应用余弦定理有

$$BD^2=a^2+d^2-2ad\cos A=b^2+c^2-2bc\cos C,$$ 即 $$2ad\cos A-2bc\cos C=a^2-b^2-c^2+d^2.$$

又

$$S=\dfrac 12ad\sin A+\dfrac 12bc\sin C,$$ 即 $$2ad\sin A+2bc\sin C=4S.$$ 两式平方相加，有 $$4a^2d^2+4b^2c^2-8abcd\cos(A+C)=\left(a^2-b^2-c^2+d^2\right)^2+16S^2,$$ 即 $$S=\dfrac 14\sqrt{2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2d^2+2d^2a^2+2a^2c^2+2b^2d^2-\left(a^4+b^4+c^4+d^4\right)-8abcdm}.$$ 特别的，当$d=0$时，就得到了海伦公式 $$S=\dfrac 14\sqrt{2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2-\left(a^4+b^4+c^4\right)}.$$ 事实上，可以将其变形为 $$S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcd\cos^2\dfrac{A+C}2},$$ 其中$p=\dfrac 12(a+b+c+d)$，此即Bretschneider公式．