每日一题[960]高下立现

在等边三角形$ABC$中,$P$为三角形$ABC$内一点,且$\angle BPC=120^\circ$,则$\dfrac{PA}{PC}$的最小值为______.


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正确答案是$\dfrac{\sqrt 3}2$.

分析与解 如图,将$P$绕$B$点顺时针旋转$60^\circ$得到点$Q$,则$\angle ABP$与$\triangle CBQ$全等,于是$PA=QC$且$$\angle QPC=\angle BPC-\angle BPQ= 60^\circ.$$在$\triangle PQC$中,应用正弦定理可得\[\dfrac{PA}{PC}=\dfrac{QC}{PC}=\dfrac{\sin\angle QPC}{\sin\angle PQC}=\dfrac{\sin 60^\circ}{\sin \angle PQC}\geqslant \dfrac{\sqrt 3}2,\]等号当且仅当$\angle PQC=90^\circ$时取得.因此所求的最小值为$\dfrac{\sqrt 3}2$.

坐标计算 因为点$P$在一段劣弧上,设此弧对应的圆心为$O$,以$O$为圆心,$OA$为$y$轴建系,不妨设$OC=1$,则有$C\left(\dfrac {\sqrt 3}2,\dfrac 12\right),A(0,2)$,且点$P$的坐标为$$P(\cos\theta,\sin\theta),\theta\in\left(\dfrac {\pi}6,\dfrac 56\pi\right),$$如图:于是\[\begin{split} \left(\dfrac {PA}{PC}\right)^2=&\dfrac{\cos^2\theta+(2-\sin\theta)^2}{\left(\cos\theta-\dfrac {\sqrt 3}2\right)^2+\left(\sin\theta-\dfrac 12\right)^2}\\=&\dfrac {5-4\sin\theta}{2-\sin\theta-\sqrt 3\cos\theta}\\=&\dfrac 4{1+\sqrt 3\cdot\dfrac{\frac{\sqrt 3}4-\cos\theta}{\frac 54-\sin\theta}}.\end{split} \]令$k=\dfrac{\frac{\sqrt 3}4-\cos\theta}{\frac 54-\sin\theta}$,则$k$表示点$M\left(\dfrac 54,\dfrac{\sqrt 3}4\right)$与点$N(\sin\theta,\cos\theta)$的连线的斜率,且$\theta\in\left(\dfrac {\pi}6,\dfrac 56\pi\right)$,如上图右,当$MN$与单位圆相切时,$k$有最大值,可以求得此时$$\sin\theta=\dfrac {13}{14},\cos\theta=-\dfrac {3\sqrt 3}{14},$$得到$k$的最大值为$-\dfrac {\sin\theta}{\cos\theta}=\dfrac {13}9\sqrt 3$,从而得到$\dfrac {PA}{PC}$的最小值为$\dfrac {\sqrt 3}2$.

在本题中,几何方法的简洁与计算量明显优于坐标计算的方法.

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每日一题[960]高下立现》有 1 条评论

  1. fly说:

    我也给了一个做法:由已知条件可知P的轨迹是一段圆弧,设所求值为a,则P的轨迹是一个和a相关的圆,只需两个圆有交点,即可解出a的范围。

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