每日一题[961]四边形的面积

已知平面四边形$ABCD$的四边长分别为$AB=a$,$BC=b$,$CD=c$,$DA=d$,且$\cos (A+C)=\cos (B+D)=m$,求四边形$ABCD$的面积$S$.


cover

正确答案是\(S=\dfrac 14\sqrt{2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2d^2+2d^2a^2+2a^2c^2+2b^2d^2-\left(a^4+b^4+c^4+d^4\right)-8abcdm}.\)

分析与解    连接$BD$,应用余弦定理有\[BD^2=a^2+d^2-2ad\cos A=b^2+c^2-2bc\cos C,\]即\[2ad\cos A-2bc\cos C=a^2-b^2-c^2+d^2.\]

又\[S=\dfrac 12ad\sin A+\dfrac 12bc\sin C,\]即\[2ad\sin A+2bc\sin C=4S.\]两式平方相加,有\[4a^2d^2+4b^2c^2-8abcd\cos(A+C)=\left(a^2-b^2-c^2+d^2\right)^2+16S^2,\]即\[S=\dfrac 14\sqrt{2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2d^2+2d^2a^2+2a^2c^2+2b^2d^2-\left(a^4+b^4+c^4+d^4\right)-8abcdm}.\]特别的,当$d=0$时,就得到了海伦公式\[S=\dfrac 14\sqrt{2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2-\left(a^4+b^4+c^4\right)}.\]事实上,可以将其变形为\[S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcd\cos^2\dfrac{A+C}2},\]其中$p=\dfrac 12(a+b+c+d)$,此即Bretschneider公式.

此条目发表在每日一题分类目录,贴了标签。将固定链接加入收藏夹。

发表评论