每日一题[960]高下立现

在等边三角形$ABC$中，$P$为三角形$ABC$内一点，且$\angle BPC=120^\circ$，则$\dfrac{PA}{PC}$的最小值为______．

正确答案是$\dfrac{\sqrt 3}2$．

分析与解　如图，将$P$绕$B$点顺时针旋转$60^\circ$得到点$Q$，则$\angle ABP$与$\triangle CBQ$全等，于是$PA=QC$且$$\angle QPC=\angle BPC-\angle BPQ= 60^\circ.$$在$\triangle PQC$中，应用正弦定理可得\[\dfrac{PA}{PC}=\dfrac{QC}{PC}=\dfrac{\sin\angle QPC}{\sin\angle PQC}=\dfrac{\sin 60^\circ}{\sin \angle PQC}\geqslant \dfrac{\sqrt 3}2,\]等号当且仅当$\angle PQC=90^\circ$时取得．因此所求的最小值为$\dfrac{\sqrt 3}2$．

坐标计算　因为点$P$在一段劣弧上，设此弧对应的圆心为$O$，以$O$为圆心，$OA$为$y$轴建系，不妨设$OC=1$，则有$C\left(\dfrac {\sqrt 3}2,\dfrac 12\right),A(0,2)$，且点$P$的坐标为$$P(\cos\theta,\sin\theta),\theta\in\left(\dfrac {\pi}6,\dfrac 56\pi\right),$$如图：于是\[\begin{split} \left(\dfrac {PA}{PC}\right)^2=&\dfrac{\cos^2\theta+(2-\sin\theta)^2}{\left(\cos\theta-\dfrac {\sqrt 3}2\right)^2+\left(\sin\theta-\dfrac 12\right)^2}\\=&\dfrac {5-4\sin\theta}{2-\sin\theta-\sqrt 3\cos\theta}\\=&\dfrac 4{1+\sqrt 3\cdot\dfrac{\frac{\sqrt 3}4-\cos\theta}{\frac 54-\sin\theta}}.\end{split} \]令$k=\dfrac{\frac{\sqrt 3}4-\cos\theta}{\frac 54-\sin\theta}$，则$k$表示点$M\left(\dfrac 54,\dfrac{\sqrt 3}4\right)$与点$N(\sin\theta,\cos\theta)$的连线的斜率，且$\theta\in\left(\dfrac {\pi}6,\dfrac 56\pi\right)$，如上图右，当$MN$与单位圆相切时，$k$有最大值，可以求得此时$$\sin\theta=\dfrac {13}{14},\cos\theta=-\dfrac {3\sqrt 3}{14},$$得到$k$的最大值为$-\dfrac {\sin\theta}{\cos\theta}=\dfrac {13}9\sqrt 3$，从而得到$\dfrac {PA}{PC}$的最小值为$\dfrac {\sqrt 3}2$．

在本题中，几何方法的简洁与计算量明显优于坐标计算的方法．