每日一题[102]引入参数配方求最值

求函数$f(x)=\sin x\cos x+\sin x+\dfrac 25\cos x,x\in\mathcal R$的值域．

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正确的答案是$\left[-\dfrac{76+11\sqrt{11}}{100},\dfrac{38}{25}\right]$．

考虑引入参数使用拉格朗日配方法，有

$$\begin{split}f(x)&=\lambda\sin^2x+\sin x\cos x+\sin x+\lambda\cos^2x+\dfrac 25\cos x-\lambda\\&=\lambda\left(\sin x+\dfrac{\cos x+1}{2\lambda}\right)^2+\dfrac{4\lambda^2-1}{4\lambda}\left(\cos x+\dfrac{4\lambda-5}{20\lambda^2-5}\right)^2-\dfrac{100\lambda^3+4\lambda-10}{100\lambda^2-25}.\end{split}$$ 考虑到取等条件 $$\begin{split}\cos x&=\dfrac{5-4\lambda}{20\lambda^2-5},\\\sin x&=-\dfrac{\cos x+1}{2\lambda}=\dfrac{2-10\lambda}{20\lambda^2-5},\end{split}$$ 有 $$\left(\dfrac{5-4\lambda}{20\lambda^2-5}\right)^2+\left(\dfrac{2-10\lambda}{20\lambda^2-5}\right)^2=1,$$ 整理得 $$100\lambda^4-79\lambda^2+20\lambda-1=0,$$ 解得 $$\lambda=-1,\dfrac 15,\dfrac{4-\sqrt{11}}{10},\dfrac{4+\sqrt{11}}{10}.$$

考虑到当两个完全平方式前的系数同号时配方才有意义，有

$$\lambda\cdot\dfrac{4\lambda^2-1}{4\lambda}>0,$$ 即 $$\lambda<-\dfrac 12\lor \lambda>\dfrac 12,$$ 因此分别取 $$\lambda=-1,\lambda=\dfrac{4+\sqrt{11}}{10},$$ 有 $$\sin x\cos x+\sin x+\dfrac 25\cos x=-1\left(\sin x -\dfrac 12\cos x-\dfrac 12\right)^2-\dfrac 34\left(\cos x-\dfrac 35\right)^2+\dfrac{38}{25},$$ 以及 $$\sin x\cos x+\sin x+\dfrac 25\cos x=\dfrac{4+\sqrt{11}}{10}\left(\sin x +(4-\sqrt{11})\cos x+(4-\sqrt{11})\right)^2+\dfrac{-8+3\sqrt{11}}{5}\left(\cos x+\dfrac{3-2\sqrt{11}}{10}\right)^2-\dfrac{76+11\sqrt{11}}{100},$$ 于是可得$f(x)$的最大值和最小值分别为$\dfrac{38}{25}$以及$-\dfrac{76+11\sqrt{11}}{100}$．

考虑到函数的连续性，可得所求函数的值域为$\left[-\dfrac{76+11\sqrt{11}}{100},\dfrac{38}{25}\right]$，如图．

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2016年5月30日补充，山大附中王永喜给出：

推广1    设$p,q$是给定的正整数，且$(p,q)=1$，$p>q$，则有

$$\sin x\cos x+\sin x+\dfrac{p^3-3pq^2}{q(p^2+q^2)}\cos x\leqslant \dfrac{p(p^4+3q^4)}{q(p^2+q^2)^2}.$$

推广2    设$m$是正整数，且$x$为锐角，则有

$$\sin x\cos x+\sin x-\dfrac{(m+1)(2m^2-2m-1)}{m(2m^2+2m+1)}\cos x\leqslant \dfrac{(m+1)(4m^4+4m^3+6m^2+4m+1)}{m(2m^2+2m+1)^2}.$$