还是熟悉的配方，还是原来的味道

配方是代数变形的重要手段，尤其在不等式问题中更是如此．配方法是初中就已经学习，并且非常熟练掌握的方法，我们今天再来品味一下熟悉的味道．

配方一    主元配方法

例题1、已知点\(P\)为曲线\(xy-\dfrac 52x-2y+3=0\)上一点，则\(x^2+y^2\)的最小值为_______．

解    对\(x^2+y^2\)配合已知条件进行配方\[\begin{split}x^2+y^2&=x^2+y^2+xy-\frac 52x-2y+3\\&=\underbrace{x^2+\left(y-\frac 52\right)x}_{x}+y^2-2y+3\\&=\left(x+\frac 12y-\frac 54\right)^2-\left(\frac 12y-\frac 54\right)^2+y^2-2y+3\\&=\left(x+\frac 12y-\frac 54\right)^2+\underbrace{\frac 34y^2-\frac 34y+\frac{23}{16}}_{y}\\&=\left(x+\frac 12y-\frac 54\right)^2+\frac 34\left(y-\frac 12\right)^2+\frac 54\end{split}\]于是\(x^2+y^2\)的最小值为\(\dfrac 54\)，当且仅当\(x=1\land y=\dfrac 12\)时取得．

上述配方过程中先视\(x\)为主元进行配方，然后再对\(y\)进行配方，这种方法称为主元配方法，又称为拉格朗日配方法．

练习1、用拉格朗日配方法证明：\[a^2+b^2+c^2\geqslant ab+bc+ca.\]

 配方二    参数配方法

例题2、（2014年高考辽宁卷理科数学第16题）对于\(c>0\)，当非零实数\(a,b\)满足\[4a^2-2ab+4b^2-c=0\]且使\(|2a+b|\)最大时，\(\dfrac 3a-\dfrac 4b+\dfrac 5c\)的最小值为_______．

解    根据已知\[\begin{split}c+\lambda\left(2a+b\right)^2&=\left(4a^2-2ab+4b^2\right)+\lambda\left(4a^2+4ab+b^2\right)\\&=\left(4+4\lambda\right)a^2+\left(4\lambda-2\right)ab+\left(4+\lambda\right)b^2,\end{split}\]为了使得右边为完全平方式，其判别式\[\Delta=\left(4\lambda-2\right)^2-4\cdot\left(4+4\lambda\right)\left(4+\lambda\right)=0,\]解得\[\lambda=-\frac 58.\]

这样我们就有\[c-\frac 58\left(2a+b\right)^2=\frac 32\left(a-\frac 32b\right)^2.\]

因此当\(|2a+b|\)取最大值时，\(a=\dfrac 32b\)，进而\(c=10b^2\)．代入欲求最小值的式子中，有\[\frac 3a-\frac 4b+\frac 5c=\frac 12\cdot\left(\frac 1b\right)^2-2\cdot\left(\frac 1b\right)\geqslant -2,\]等号当且仅当\(\dfrac 1b=2\)时取得．

上述配方过程中，为了达到配凑完全平方式的目的，我们引入了参数\(\lambda\)，并利用了二次式的判别式辅助配方．

练习2、设\(x,y\in\mathcal R\)，若\(4x^2+y^2+xy=1\)，则\(2x+y\)的最大值是_______．（\(\dfrac{2\sqrt{10}}{5}\)）

注    判别式可以辅助配方，也可以单独使用．比如上面的练习2有基于判别式的以下解法：

令\(t=2x+y\)，则\(y=t-2x\)，代入条件中有\[4x^2+\left(t-2x\right)^2+x\left(t-2x\right)=1,\]即\[6x^2-3tx+t^2-1=0,\]其判别式\[\Delta=9t^2-24\left(t^2-1\right)\geqslant 0,\]解得\[-\frac{2\sqrt{10}}5\leqslant t\leqslant\frac{2\sqrt{10}}5.\]

经验证，等号可以取得，因此\(2x+y\)的最大值为\(\dfrac{2\sqrt{10}}5\)．

 练习3、（练习1的推广）用判别式法证明嵌入不等式：\[x^2+y^2+z^2\geqslant 2xy\cdot\cos C+2yz\cdot\cos A+2zx\cdot\cos B,\]其中\(A,B,C\)为某个三角形的三个内角．