每日一题[938]集合的“相关数”

设集合

$$A_{2n}=\{1,2,3,\cdots,2n\}\ \left(n\in \mathbb{N}^{*},n\geqslant 2\right).$$ 如果对于$A_{2n}$的每一个含有$m\ (m\geqslant 4)$个元素的子集$P$，$P$中必有$4$个元素的和等于$4n+1$，则称正整数$m$为集合$A_{2n}$的一个“相关数”．

(1) 当$n=3$时，判断$5$和$6$是否为集合$A_6$的“相关数”，说明理由；
(2) 若$m$为集合$A_{2n}$的“相关数”，证明：$m-n-3\geqslant 0$；
(3) 给定正整数$n$，求集合$A_{2n}$的“相关数”$m$的最小值．

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分析与解　(1) 当$n=3$时，$A_6=\{1,2,3,4,5,6\}$，$4n+1=13$．一方面，对于$A_6$的含有$5$个元素的子集$\{2,3,4,5,6\}$，因为$2+3+4+5>13$，所以$5$不是集合$A_6$的“相关数”；另一方面，$A_6$的含有$6$个元素的子集只有$\{1,2,3,4,5,6\}$，因为$1+3+4+5=13$，所以$6$是集合$A_6$的“相关数”．

(2) 考察集合$A_{2n}$的$n+2$元子集$B=\{n-1,n,n+1,\cdots,2n\}$，$B$中任意$4$个元素之和一定不小于

$$(n-1)+n+(n+1)+(n+2)=4n+2,$$ 所以若$m$为集合$A_{2n}$的“相关数”，必有$m-n-3\geqslant 0$．

(3) 由(2)得$m \geqslant n+3$．

先将集合$A_{2n}$的元素分成如下$n$组：

$$C_i=\{i,2n+1-i\},\ i=1,2,\cdots,n.$$ 对于$A_{2n}$的任意一个$n+3$元子集$P$，一定存在互异的三个正整数$i_1,i_2,i_3\in\{1,2,\cdots,n\}$，使得
$$C_{i_1}\subseteq P,\ C_{i_2}\subseteq P,\ C_{i_3}\subseteq P.$$ 再将集合$A_{2n}$的元素剔除$n$和$2n$之后，分成如下$n-1$组：
$$D_j=\{j,2n-j\},\ j=1,2,\cdots,n-1.$$ 对于$A_{2n}$的任意一个$n+3$元子集$P$，一定存在正整数$j_4\in\{1,2,\cdots,n-1\}$，使得
$$D_{j_4}\subseteq P,$$ 而且$D_{j_4}$与$C_{i_1},C_{i_2},C_{i_3}$中至少一组无公共元素，不妨设$D_{j_4}$与$C_{i_1}$无公共元素，
此时， $$i_1+\left(2n+1-i_1\right)+j_4+\left(2n-j_4\right)=4n+1.$$ 所以集合$A_{2n}$的“相关数”$m$的最小值为$n+3$．