每日一题[936]直线与抛物线

在平面直角坐标$xOy$中，抛物线$C$的顶点是原点，以$x$轴为对称轴，且经过点$P(1,2)$．
(1) 求抛物线$C$的方程；
(2) 设点$A,B$在抛物线$C$上，直线$PA,PB$分别与$y$轴交于点$M,N$，$|PM|=|PN|$，求直线$AB$的斜率．

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分析与解　(1) $y^2=4x$；

(2) 方法一　设$M(0,2+m)$，$N(0,2-m)$，则直线$PM:y=-mx+2+m$，与抛物线的方程联立可得

$$my^2+4y-8-4m=0,$$ 于是点$A$的纵坐标 $$y_1=\dfrac 12\cdot \dfrac{-8-4m}{m}=-\dfrac 4m-2;$$ 同理，点$B$的纵坐标 $$y_2=\dfrac 4m-2,$$ 因此直线$AB$的斜率 $$k=\dfrac{4}{y_1+y_2}=-1.$$

方法二　设$A(4a^2,4a)$，$B(4b^2,4b)$，则直线$AB$的斜率

$$k=\dfrac{4a-4b}{4a^2-4b^2}=\dfrac{1}{a+b},$$ 根据截距坐标公式，可得点$M,N$的纵坐标分别为 $$y_1=\dfrac{1\cdot 4a-4a^2\cdot 2}{1-4a^2}=\dfrac{4a}{1+2a},y_2=\dfrac{4b}{1+2b},$$ 根据题意，有 $$y_1+y_2=4,$$ 即 $$\dfrac{4a}{1+2a}+\dfrac{4b}{1+2b}=4,$$ 整理可得 $$a+b=-1,$$ 因此所求直线$AB$的斜率为$-1$．