每日一题[934]函数不等式的变形

函数$f(x)=x|x|$．若存在$x\in[1,+\infty)$，使得$f(x-2k)-k<0$，则$k$的取值范围是(　　)
A．$\left(2,+\infty\right)$
B．$\left(1,+\infty\right)$
C．$\left(\dfrac{1}{2},+\infty\right)$
D．$\left(\dfrac{1}{4},+\infty\right)$

正确答案是D．

分析与解　若$k\leqslant 0$，则$x-2k\geqslant 1$，从而有 $$f(x-2k)>0>k,$$ 不符合题意，所以有$k>0$．

注意到$f(x)$在$\mathbb{R}$上单调递增，如果能将$k$表示成某点的函数值，则可以直接利用单调性拿掉$f$，于是我们得到 $$f(x-2k)-k<0\Leftrightarrow f(x-2k)<f\left(\sqrt{k}\right)\Leftrightarrow x-2k<\sqrt{k},$$
因此存在$x\in[1,+\infty)$，使得$f(x-2k)-k<0$等价于$2k+\sqrt{k}>1$，解得$k>\dfrac{1}{4}$．