每日一题[933]形式联想

已知实数$a_1,a_2,a_3,a_4$满足$a_1a_4-a_2a_3=1$，求 $$M=a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2+a_1a_3+a_2a_4$$ 的最小值．

分析与解　考虑到 $$\left(a_1+a_2{\rm i}\right)\left(a_4+a_3{\rm i}\right)=\left(a_1a_4-a_2a_3\right)+\left(a_1a_3+a_2a_4\right){\rm i},$$ 于是 $$\left(a_1^2+a_2^2\right)\left(a_3^2+a_4^2\right)=\left(a_1a_4-a_2a_3\right)^2+\left(a_1a_3+a_2a_4\right)^2,$$ 因此 $$\begin{split} M&=a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2+a_1a_3+a_2a_4\\&\geqslant 2\sqrt{\left(a_1^2+a_2^2\right)\left(a_3^2+a_4^2\right)}+\left(a_1a_3+a_2a_4\right)\\&=2\sqrt{\left(a_1a_3+a_2a_4\right)^2+1}+\left(a_1a_3+a_2a_4\right),\end{split}$$ 记$x=a_1a_3+a_2a_4$，则有 $$3x^2+2Mx+4-M^2\leqslant 0,$$ 其判别式 $$\Delta=4M^2-4\cdot 3\cdot \left(4-M^2\right)\geqslant 0,$$ 从而可得$M\geqslant \sqrt 3$．事实上，考虑到取等条件为 $$\begin{cases}a_1^2+a_2^2=a_3^2+a_4^2,\\a_1a_3+a_2a_4=-\dfrac{1}{\sqrt 3},\\a_1a_4-a_2a_3=1,\end{cases}$$ 令$\left(a_1,a_2,a_3,a_4\right)=\left(t,-\dfrac{1}{2t},t,\dfrac{1}{2t}\right)$，其中$t^2=\dfrac{\sqrt 3}6$，则有$M=\sqrt 3$．因此$M$的最小值为$\sqrt 3$．