每日一题[949]转化为距离

已知$O$是$\triangle ABC$的外心，$\overrightarrow{AO}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$，若$A$是锐角且满足 $$3\sqrt{41-40\cos A}+4\sqrt{34-30\sin A}=25,$$ 则$x+y$的最大值为_______．

正确答案是$\dfrac 59$．

分析与解　根据题意，有 $$3\sqrt{\left(4\cos A-5\right)^2+(4\sin A)^2}+4\sqrt{\left(3\cos A\right)^2+\left(3\sin A-5\right)^2}=25,$$ 即 $$\sqrt{\left(\cos A-\dfrac 54\right)^2+\sin^2A}+\sqrt{\cos^2A+\left(\sin A-\dfrac 53\right)^2}=\dfrac{25}{12},$$ 上式左边的几何意义是单位圆在第一象限的部分上的一点$P\left(\cos A,\sin A\right)$到点$M\left(\dfrac 54,0\right)$和点$N\left(0,\dfrac 53\right)$的距离之和．注意到$MN=\dfrac{25}{12}$且线段$MN$与单位圆相切于点$\left(\dfrac 45,\dfrac 35\right)$，因此$P$就是切点所在的位置．这样就得到了$\cos A=\dfrac 45$．另一方面，不妨设$\triangle ABC$的外接圆半径为$1$，直线$AO$与边$BC$交于点$D$，那么根据向量线性分解的系数和的几何意义，有 $$x+y=\dfrac{OA}{AD}=\dfrac{OA}{OA+OD}\leqslant \dfrac{OA}{OA+d(O,BC)}=\dfrac{1}{1+\cos A}=\dfrac 59,$$ 因此$x+y$的最大值为$\dfrac 59$．

注　向量分解的等系数和线的相关知识见每日一题[926]．