2026年湖南长沙市高三期末数学试卷 #7
已知某四棱锥的一条侧棱垂直于底面，其底面为平行四边形，且 $8$ 条棱的长度构成的集合为 $\{1,\sqrt 2,\sqrt 3\}$，则满足条件的四棱锥的个数为（ ）
A．$2$
B．$4$
C．$6$
D．$8$
答案 D．
解析 不妨设四棱锥为 $P-ABCD$，且 $P$ 在底面上的投影为 $A$，则四棱锥可以用有序数组 $(AP^2,AB^2,AD^2,AC^2)$ 表示，其中\[AP^2,AB^2,AD^2,PC^2,AP^2+AB^2,AP^2+AD^2,AP^2+AC^2\in \{1,2,3\},\]此外还需验证 $AB,AC,AD$ 为三角形三边长以及所有的棱长均出现．
若 $AP^2=2$，则只有解 $(2,1,1,1)$； 若 $AP^2=1$，则 $AB^2,AD^2,AC^2\in \{1,2\}$ 入手，此时必然有 $AB,AC,AD$ 为三角形三边长，共 $8$ 组解，其中只有 $(1,1,1,1)$ 不符合要求，满足要求的解有 $7$ 组． 综上所述，满足条件的四棱锥的个数为 $8$ 个．