每日一题[904]寻找分界点

已知函数$f(x)=x^2-2ax+4(a-1)\ln (x+1)$，其中实数$a<3$．

(1) 判断$x=1$是否为函数$f(x)$的极值点，并说明理由；

(2) 若$f(x)\leqslant 0$在区间$[0,1]$上恒成立，求$a$的取值范围．

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分析与解　(1) 函数$f(x)$的导函数

$$f'(x)=\dfrac 2{x+1}(x-1)(x+2-a),$$ 由于$a-2<1$，因此$x=1$是函数$f(x)$的极小值点．

(2) 由于$f(0)=0$，而$f'(0)=2(a-2)$，因此$a=2$是讨论的分界点．

情形一　$2<a<3$．此时在区间$(0,a-2)$上，$f'(x)> 0$，$f(x)$单调递增，结合$f(0)=0$，有$f(x)>0$，不符合题意．

情形二　$a\leqslant 2$．此时在区间$[0,1]$上，$f'(x)\leqslant 0$，$f(x)$单调递减，结合$f(0)=0$，有$f(x)\leqslant 0$，符合题意．

综上所述，$a$的取值范围是$(-\infty ,2]$．