每日一题[899]动点轨迹

已知椭圆$C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a>b>0$)和直线$l:Ax+By=1$，$P$是直线$l$上一点，射线$OP$交椭圆于点$R$．又点$Q$在射线$OP$上且满足$|OP|\cdot |OQ|=|OR|^2$，当$P$在直线$l$上移动时，求点$Q$的轨迹方程．

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分析与解　如图．

参数方程　设$R(a\cos \theta,b\sin\theta)$，$P\left(pa\cos\theta,pb\sin\theta\right)$，其中$p>0$，则$Q\left(\dfrac 1pa\cos\theta,\dfrac 1pb\sin\theta\right)$．由$P$满足直线$l$的方程，可得

$$Apa\cos\theta+Bpb\sin\theta=1,$$ 而$Q$的参数方程为 $$\begin{cases}px=a\cos\theta,\\ py=b\sin\theta,\end{cases}$$ 可得 $$p^2\left(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}\right)=1,$$ 而 $$Ap^2x+Bp^2y=1,$$ 从而$Q$的轨迹方程为 $$Ax+By=\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2},$$ 即 $$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}-Ax-By=0,$$ 其中$x,y$不同时为$0$．

仿射变换　将椭圆$C$仿射变换为$C':x'^2+y'^2=a^2$，则点$Q'$的轨迹是直线$l'$以$O'$为反演中心的圆，其方程为

$$\left(\dfrac{x'^2}{a^2}+\dfrac{y'^2}{a^2}-1\right)-\left(Ax'+B\cdot \dfrac bay'-1\right)=0,x^2+y^2\neq 0$$ 回到原坐标系，其方程为 $$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}-Ax-By=0,x^2+y^2\ne 0.$$
事实上，利用相似容易证明$Q'$的轨迹是以$OQ_0'$为直径的圆，其中$Q_0'$是当$OP'\perp l'$时对应的$Q'$位置，如图．而$Q_0'$的坐标容易计算，因此可以方便的推导反演圆方程．