每日一题[851]各显身手

有编号为①，②的$2$个红球，编号为③，④的$2$个黑球，编号为⑤，⑥，⑦的$3$个白球．将这$7$个球放入编号为$A,B,C,D,E$的$5$个盒中，要求每个盒中放$1$个或$2$个球，而且同色球不能放入同一盒中，则不同的放置方式共有______种．

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正确答案是$7440$．

分析与解　法一　用容斥原理，总数为

$$\left[\dfrac{{\rm C}_7^2{\rm C}_5^2}{{\rm A}_2^2}-\left({\rm C}_2^2+{\rm C}_2^2+{\rm C}_3^2\right){\rm C}_5^2+\left({\rm C}_2^2{\rm C}_2^2+{\rm C}_2^2{\rm C}_3^2+{\rm C}_2^2{\rm C}_3^2\right)\right]\cdot {\rm A}_5^5=7440.$$

法二　先放三个白球，有${\rm A}_5^3=60$种放法；

再考虑两个红球如何放，以此分类：

（1）两个红球都放入空盒，有$2{\rm A}_5^2=40$种；

（2）两个红球中的一个放入空盒，另一个放入已有白球的盒中，有$3\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3=72$种；

（3）两个红球都放入已有白球的盒中，有${\rm A}_3^2\cdot {\rm A}_2^2=12$种；

综上，共有$60\cdot(40+72+12)=7440$种放法．

法三　先将球分成五堆，其中两堆有两个球，这两个球的组合有六种，分别计数：

（1）红黑、红黑，有$2$种分堆方式；

（2） 红白、红白（黑白、黑白相同），分别有$3\cdot 2=6$种；

（3）红黑、红白（红黑、黑白相同），分别有$2\cdot 2\cdot 3=12$种；

（4） 红白、黑白，有$2\cdot 3\cdot 2\cdot 2=24$种；

共有$(2+2\cdot 6+2\cdot 12+24)\cdot{\rm A}_5^5=7440$种．

法四　仍然考虑先分堆，从$7$个球中任选$3$个球分成$3$堆，减去这三个球中没有白球的情形（只要选出的$3$个球中有白球，剩下的四个球就可以顺利分成两堆），那么剩下的四个球中一定存在两个同色的球（也可能两两同色），从而剩下的四个球分成两堆恰好只有两种可能，所以所有的放法总数为

$$({\rm C}_7^3-{\rm C}_4^3)\cdot 2\cdot {\rm A}_5^5=7440.$$