每日一题[851]各显身手

有编号为①,②的$2$个红球,编号为③,④的$2$个黑球,编号为⑤,⑥,⑦的$3$个白球.将这$7$个球放入编号为$A,B,C,D,E$的$5$个盒中,要求每个盒中放$1$个或$2$个球,而且同色球不能放入同一盒中,则不同的放置方式共有______种.


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正确答案是$7440$.

分析与解 法一 用容斥原理,总数为\[\left[\dfrac{{\rm C}_7^2{\rm C}_5^2}{{\rm A}_2^2}-\left({\rm C}_2^2+{\rm C}_2^2+{\rm C}_3^2\right){\rm C}_5^2+\left({\rm C}_2^2{\rm C}_2^2+{\rm C}_2^2{\rm C}_3^2+{\rm C}_2^2{\rm C}_3^2\right)\right]\cdot {\rm A}_5^5=7440.\]

法二 先放三个白球,有${\rm A}_5^3=60$种放法;

再考虑两个红球如何放,以此分类:

(1)两个红球都放入空盒,有$2{\rm A}_5^2=40$种;

(2)两个红球中的一个放入空盒,另一个放入已有白球的盒中,有$3\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3=72$种;

(3)两个红球都放入已有白球的盒中,有${\rm A}_3^2\cdot {\rm A}_2^2=12$种;

综上,共有$60\cdot(40+72+12)=7440$种放法.

法三 先将球分成五堆,其中两堆有两个球,这两个球的组合有六种,分别计数:

(1)红黑、红黑,有$2$种分堆方式;

(2) 红白、红白(黑白、黑白相同),分别有$3\cdot 2=6$种;

(3)红黑、红白(红黑、黑白相同),分别有$2\cdot 2\cdot 3=12$种;

(4) 红白、黑白,有$2\cdot 3\cdot 2\cdot 2=24$种;

共有$(2+2\cdot 6+2\cdot 12+24)\cdot{\rm A}_5^5=7440$种.

法四 仍然考虑先分堆,从$7$个球中任选$3$个球分成$3$堆,减去这三个球中没有白球的情形(只要选出的$3$个球中有白球,剩下的四个球就可以顺利分成两堆),那么剩下的四个球中一定存在两个同色的球(也可能两两同色),从而剩下的四个球分成两堆恰好只有两种可能,所以所有的放法总数为$$({\rm C}_7^3-{\rm C}_4^3)\cdot 2\cdot {\rm A}_5^5=7440.$$

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