每日一题[848]正弦型函数的图象

已知函数$f(x)=\sin(\omega x+\varphi)$，其中$\omega >0$，$|\varphi|<\dfrac{\pi}2$．$x=-\dfrac{\pi}4$是函数$f(x)$的一个零点，$x=\dfrac{\pi}4$是函数$f(x)$的一条对称轴，且$f(x)$在$\left(\dfrac{\pi}{18},\dfrac{5\pi}{36}\right)$上单调，求$\omega$的所有可能的值．

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正确答案是$1,3,5,9$．

分析与解　根据题意，函数$f(x)$的零点与对称轴之间的距离

$$\dfrac{\pi}4-\left(-\dfrac{\pi}4\right)=k\cdot \dfrac{T}2+\dfrac{T}4,$$ 其中$T$为函数$f(x)$的周期，$k\in\mathbb N$．从而可得$\omega =2k+1$，$k\in\mathbb N$．而函数$f(x)$在$\left(\dfrac{\pi}{18},\dfrac{5\pi}{36}\right)$上单调，因此任何对称轴都不在区间$\left(\dfrac{\pi}{18},\dfrac{5\pi}{36}\right)$内，因为$x=\dfrac {\pi}4$是$f(x)$的对称轴，所以$f(x)$的对称轴为$x=\dfrac {n\pi}{2k+1}+\dfrac {\pi}4$，从而即 $$\forall n\in\mathbb Z,\left(\dfrac{n\pi}{2k+1}+\dfrac{\pi}4\leqslant \dfrac{\pi}{18} \right)\lor \left(\dfrac{n\pi}{2k+1}+\dfrac{\pi}4\geqslant \dfrac{5\pi}{36} \right),$$ 也即 $$\forall n\in\mathbb Z,\dfrac {n}{2k+1}\leqslant -\dfrac 7{36}\lor \dfrac {n}{2k+1}\geqslant -\dfrac 1{9}.$$ 容易验证当$k=0,1,2,4$时符合题意，当$k=3,5$时不符合题意，而当$k\geqslant 6$时，有 $$T=\dfrac {2\pi}{2k+1}\leqslant \dfrac {2\pi}{13}<2\left(\dfrac{5\pi}{36}-\dfrac {\pi}{18}\right),$$ 因此必然不符合题意．

综上所述，$\omega$的所有可能的值为$1,3,5,9$．

另法　首先，根据题意，函数$f(x)$的零点与对称轴之间的距离

$$\dfrac{\pi}4-\left(-\dfrac{\pi}4\right)=k\cdot \dfrac{T}2+\dfrac{T}4,$$ 其中$T$为函数$f(x)$的周期，$k\in\mathbb N$．从而可得$\omega =2k+1$，$k\in\mathbb N$．

其次，由

$$T=\dfrac {2\pi}{\omega}\geqslant 2\left(\dfrac 5{36}\pi-\dfrac {\pi}{18}\right)=\dfrac {\pi}6$$ 得$\omega\leqslant 12$，所以$\omega$的所有可能取值为$1,3,5,7,9,11$，对应的函数的周期分别为$2\pi,\dfrac {2\pi}3,\dfrac {2\pi}5,\dfrac {2\pi}7,\dfrac {2\pi}9,\dfrac {2\pi}{11}$，只要区间$\left(\dfrac{\pi}{18},\dfrac{5\pi}{36}\right)$中无对称轴，就可以满足题意，所以直接考虑与对称轴$x=\dfrac {\pi}4$附近的对称轴即可：

如$\omega=1$时，$f(x)$的对称轴有$-\dfrac 34\pi,\dfrac 54\pi\notin\left(\dfrac{\pi}{18},\dfrac{5\pi}{36}\right)$，所以$\omega=1$满足；

$\omega=7$时，$f(x)$的对称轴有$\dfrac {\pi}4-\dfrac {\pi}7=\dfrac 3{28}\pi\in\left(\dfrac{\pi}{18},\dfrac{5\pi}{36}\right)$，所以$\omega=7$不满足；

类似逐个检验知$\omega$的所有可能的值为$1,3,5,9$．