每日一题[847]逃不开的轨迹

若实数$a,b,c$成等差数列,点$P(-1,0)$在动直线$ax+by+c=0$上的投影为$M$,点$N(3,3)$,求线段$MN$长度的取值范围.


cover

正确答案是$\left[5-\sqrt 2,5+\sqrt 2\right]$.

分析与解 由于实数$a,b,c$成等差数列,因此动直线$l:ax+by+c=0$恒过点$A(1,-2)$.根据题意,$\angle PMA$恒为直角,因此点$M$的轨迹是以$PA$为直径的圆\[(x+1)(x-1)+(y-0)(y+2)=0,\]即\[x^2+(y+1)^2=2,\]因此线段$MN$长度的取值范围是$\left[5-\sqrt 2,5+\sqrt 2\right]$.

此条目发表在每日一题分类目录,贴了标签。将固定链接加入收藏夹。

发表评论