每日一题[849]寻找“定值”

已知双曲线$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a>0,b>0$)的左、右焦点分别为$F_1,F_2$,过$F_1$且垂直于$x$轴的直线与该双曲线的左支交于$A,B$两点,$AF_2,BF_2$分别交$y$轴于$P,Q$两点,若$\triangle PQF_2$的周长为$12$,求$ab$取得最大值时双曲线的离心率$e$.


cover

正确答案是$\dfrac{2\sqrt 3}3$.

分析与解 根据题意,$\triangle PQF_2$的周长为$\triangle ABF_2$的周长的一半,因此$|AF_1|+|AF_2|$为定值$12$,也即\[\dfrac{2b^2}{a}+2a=12.\]根据均值不等式,有\[12=\dfrac{2b^2}{a}+\dfrac{2a}3+\dfrac{2a}3+\dfrac{2a}3\geqslant 4\left(\dfrac{16}{27}a^2b^2\right)^{\frac 14},\]等号当$\dfrac{2b^2}{a}=\dfrac{2a}3$,即$a^2=3b^2$时取得.此时$4a^2=3c^2$,从而\[e^2=\dfrac{c^2}{a^2}=\dfrac 43,\]因此$e=\dfrac{2\sqrt 3}3$.

另法 得到$\dfrac {b^2}a+a=6$得,也可以三角换元,因为$a^2-6a+b^2=0$,所以可以令$a=3+3\cos\theta,b=3\sin\theta$,得到\[\begin{split} ab=&9(1+\cos\theta)\sin\theta\\=&9\sqrt{(1+\cos\theta)^3\cdot(3-3\cos\theta)\cdot\dfrac 13}\\\leqslant &3\sqrt 3\cdot\sqrt{\left(\dfrac {3-3\cos\theta+3(1+\cos\theta)}4\right)^4}\\=&\dfrac {27}4\sqrt 3,\end{split}\]当$1+\cos\theta=3-3\cos\theta$,即$\cos\theta=\dfrac 12$时取到等号,此时$a=\dfrac 92,b=\dfrac 32\sqrt 3$,所以$e=\dfrac 23\sqrt 3$.

此条目发表在每日一题分类目录,贴了标签。将固定链接加入收藏夹。

发表评论