已知a>b>0,ab=ba.
(1)求证:a>e>b>1;
(2)求证:a+b>2e;
(3)求证:a⋅b>e2.
分析与证明 (1) 根据题意,有lnaa=lnbb.令f(x)=lnxx,则其导函数f′(x)=1x2⋅(1−lnx),
于是f(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减,在x=e处取得极大值1e,如图.

(2) 显然只需要证明a<2e的情形,即证明b>2e−a,考虑到b,2e−a均位于f(x)的单调递增区间(0,e),因此只需要证明f(b)>f(2e−a),
也即f(a)>f(2e−a).
接下来我们证明∀x∈(e,2e),f(x)−f(2e−x)>0.
设上述不等式左侧为g(x),则其导函数g′(x)=f′(x)+f′(2e−x)=1−lnxx2+1−ln(2e−x)(2e−x)2=1−ln(2e−x)(2e−x)2−lnx−1x2.
考虑到当x∈(e,2e)时,有lnx+ln(2e−x)=ln[x⋅(2e−x)]<lne2=2,
于是1−ln(2e−x)>lnx−1>0,
又当x∈(e,2e)时,有(2e−x)2<x2,
于是当x∈(e,2e)时,有g′(x)>0,因此g(x)在(e,2e)上单调递增,结合g(e)=0,命题得证.
(3) 显然只需要证明a<e2的情形,与(2)类似,只需要证明∀x>e,f(x)−f(e2x)>0.
设上述不等式左侧为h(x),则其导函数h′(x)=f′(x)+e2x2⋅f′(e2x)=1−lnxx2+lnx−1e2=(1−lnx)(e−x)(e+x)e2x2>0,
因此h(x)在(e,e2)上单调递增,结合h(e)=0,命题得证.
如果a=b=1呢?
是我逗比了