每日一题[825]对称化构造

已知a>b>0ab=ba

(1)求证:a>e>b>1

(2)求证:a+b>2e

(3)求证:ab>e2


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分析与证明 (1) 根据题意,有lnaa=lnbb.令f(x)=lnxx,则其导函数f(x)=1x2(1lnx),

于是f(x)(0,e)上单调递增,在(e,+)上单调递减,在x=e处取得极大值1e,如图.
因此可得a>e>b>1

(2) 显然只需要证明a<2e的情形,即证明b>2ea,考虑到b,2ea均位于f(x)的单调递增区间(0,e),因此只需要证明f(b)>f(2ea),

也即f(a)>f(2ea).
接下来我们证明x(e,2e),f(x)f(2ex)>0.
设上述不等式左侧为g(x),则其导函数g(x)=f(x)+f(2ex)=1lnxx2+1ln(2ex)(2ex)2=1ln(2ex)(2ex)2lnx1x2.
考虑到当x(e,2e)时,有lnx+ln(2ex)=ln[x(2ex)]<lne2=2,
于是1ln(2ex)>lnx1>0,
又当x(e,2e)时,有(2ex)2<x2,
于是当x(e,2e)时,有g(x)>0,因此g(x)(e,2e)上单调递增,结合g(e)=0,命题得证.

(3) 显然只需要证明a<e2的情形,与(2)类似,只需要证明x>e,f(x)f(e2x)>0.

设上述不等式左侧为h(x),则其导函数h(x)=f(x)+e2x2f(e2x)=1lnxx2+lnx1e2=(1lnx)(ex)(e+x)e2x2>0,
因此h(x)(e,e2)上单调递增,结合h(e)=0,命题得证.

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每日一题[825]对称化构造》有2条回应

  1. Avatar photo Mr.xu说:

    如果a=b=1呢?

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