已知a,b∈R,若函数f(x)=|asinx+bcosx−1|+|bsinx−acosx|的最大值为11,则a2+b2的值是______.
正确答案是50.
分析与解 根据题意,有f(x)=|asinx+bcosx−1|+|bsinx−acosx|={|(a+b)sinx+(b−a)cosx−1|,(asinx+bcosx−1)(bsinx−acosx)⩾0,|(a−b)sinx+(b+a)cosx−1|,(asinx+bcosx−1)(bsinx−acosx)<0,所以有f(x)⩽√(a+b)2+(a−b)2+1=√2(a2+b2)+1,
接下来研究取等条件,以(asinx+bcosx−1)(bsinx−acosx)⩾0为例:
设A(b,a),B(−a,b),P(cosx,sinx),则当→OP与→OA+→OB反向时取得等号.
因此有√2(a2+b2)+1=11,解得a2+b2=50.
用完辅助角公式的那一步
为什么是+1而不是-1
绝对值不等式:|a±b|⩽|a|+|b|.