每日一题[796]绝对值三角不等式

已知$a,b\in\mathbb R$，若函数$f(x)=|a\sin x+b\cos x-1|+|b\sin x-a\cos x|$的最大值为$11$，则$a^2+b^2$的值是______．

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正确答案是$50$．

分析与解　根据题意，有

$$\begin{split} f(x)&=|a\sin x+b\cos x-1|+|b\sin x-a\cos x|\\=&\begin{cases} |(a+b)\sin x+(b-a)\cos x-1|,(a\sin x+b\cos x-1)(b\sin x-a\cos x)\geqslant 0,\\|(a-b)\sin x +(b+a)\cos x-1|,(a\sin x+b\cos x-1)(b\sin x-a\cos x)<0,\end{cases}\end{split}$$ 所以有 $$f(x)\leqslant \sqrt{(a+b)^2+(a-b)^2}+1=\sqrt{2(a^2+b^2)}+1,$$
接下来研究取等条件，以$(a\sin x+b\cos x-1)(b\sin x-a\cos x)\geqslant 0$为例：

设$A(b,a)$，$B(-a,b)$，$P(\cos x,\sin x)$，则当$\overrightarrow  {OP}$与$\overrightarrow  {OA}+\overrightarrow  {OB}$反向时取得等号．

因此有

$$\sqrt{2(a^2+b^2)}+1=11,$$ 解得$a^2+b^2=50$．