每日一题[787]按需构造

已知$f(x)=\ln x-x^2+x$．
(1) 求函数$f(x)$的单调区间；
(2) 证明：当$a\geqslant 2$时，关于$x$的不等式$f(x)<\left(\dfrac a2-1\right)x^2+ax-1$恒成立；
(3) 若正实数$x_1,x_2$满足

$$f(x_1)+f(x_2)+2\left(x_1^2+x_2^2\right)+x_1x_2=0,$$ 证明：$x_1+x_2>\dfrac{\sqrt 5-1}2$．

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分析与解　(1)函数$f(x)$的导函数

$$f'(x)=\dfrac{2x+1}x\cdot (1-x),$$ 于是函数$f(x)$的单调递增区间是$(0,1)$，单调递减区间是$(1,+\infty)$．

(2)记$g(x)=f(x)-\left(\dfrac a2-1\right)x^2-ax+1$，则

$$g(x)=\ln x-\dfrac a2x^2+(1-a)x+1,x>0,$$ 其导函数 $$g'(x)=\dfrac{x+1}x\cdot (1-ax),$$ 于是 $$g(x)\leqslant g\left(\dfrac 1a\right)=-\ln a+\dfrac{1}{2a},$$ 由要证$-\ln a+\dfrac 1{2a}<0$对$a\geqslant 2$恒成立．记函数$\varphi(a)=-\ln a+\dfrac 1{2a}$，其中$a\geqslant 2$，则其导函数 $$\varphi'(a)=-\dfrac{2a+1}{2a^2}<0,$$ 于是$\varphi(a)$单调递减，进而有 $$\varphi(a)\leqslant \varphi(2)=-\ln 2+\dfrac 14=\dfrac{\ln\dfrac{\rm e}{16}}4<0,$$ 于是原命题得证．

(3)根据已知条件，可得

$$\left(x_1+x_2\right)^2+\left(x_1+x_2\right)-1=-1+x_1x_2-\ln x_1x_2.$$ 设$\mu(x)=-1+x-\ln x$，则其导函数 $$\mu'(x)=\dfrac{x-1}{x},$$ 于是可得$\mu(x)$的最小值为$\mu(1)=0$，因此 $$\left(x_1+x_2\right)^2+\left(x_1+x_2\right)-1\geqslant 0,$$ 解得$x_1+x_2>\dfrac{\sqrt 5-1}2$．