每日一题[786]角的范围估计

在锐角$\triangle ABC$中,角$A,B,C$所对的边分别为$a,b,c$,若$\dfrac{b^2}{ac}\geqslant \dfrac{\cos^2B}{\cos A\cdot\cos C}$,则$B$的取值范围是____.


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正确答案是$\left[\dfrac{\pi}3,\dfrac{\pi}2\right)$.

分析与解 结合正弦定理,题中条件等价于$$\sqrt{\tan A\cdot \tan C}\leqslant \tan B,$$而注意到$\tan A\cdot \tan C>1$,于是$$\begin{split} \tan B=&\dfrac{\tan A+\tan C}{\tan A\cdot \tan C-1}\\\geqslant &\dfrac{2\sqrt {\tan A\cdot \tan C}}{\tan A\cdot \tan C-1}\\=&\dfrac{2}{\sqrt{\tan A\cdot \tan C}-\dfrac{1}{\sqrt{\tan A\cdot \tan C}}}\\\geqslant &\dfrac{2}{\tan B-\dfrac{1}{\tan B}},\end{split} $$从而可得$$\tan^2B\geqslant 3,$$于是$B\geqslant\dfrac{\pi}3$.

另一方面,当$B\geqslant\dfrac{\pi}3$时,取$A=C=\dfrac{\pi}2-\dfrac 12B\leqslant \dfrac {\pi}3$,则有$$\sqrt{\tan A\cdot \tan C}\leqslant \sqrt{\tan\dfrac{\pi}3\cdot \tan\dfrac{\pi}3}=\sqrt 3\leqslant \tan B,$$因此所求$B$的取值范围是$\left[\dfrac{\pi}3,\dfrac{\pi}2\right)$.

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