已知$f(x)=\ln x-x^2+x$．
(1) 求函数$f(x)$的单调区间；
(2) 证明：当$a\geqslant 2$时，关于$x$的不等式$f(x)<\left(\dfrac a2-1\right)x^2+ax-1$恒成立；
(3) 若正实数$x_1,x_2$满足$$f(x_1)+f(x_2)+2\left(x_1^2+x_2^2\right)+x_1x_2=0,$$证明：$x_1+x_2>\dfrac{\sqrt 5-1}2$．
分析与解 (1)函数$f(x)$的导函数$$f'(x)=\dfrac{2x+1}x\cdot (1-x),$$于是函数$f(x)$的单调递增区间是$(0,1)$，单调递减区间是$(1,+\infty)$．
(2)记$g(x)=f(x)-\left(\dfrac a2-1\right)x^2-ax+1$，则$$g(x)=\ln x-\dfrac a2x^2+(1-a)x+1,x>0,$$其导函数$$g'(x)=\dfrac{x+1}x\cdot (1-ax),$$于是$$g(x)\leqslant g\left(\dfrac 1a\right)=-\ln a+\dfrac{1}{2a},$$由要证$-\ln a+\dfrac 1{2a}<0$对$a\geqslant 2$恒成立．记函数$\varphi(a)=-\ln a+\dfrac 1{2a}$，其中$a\geqslant 2$，则其导函数$$\varphi'(a)=-\dfrac{2a+1}{2a^2}<0,$$于是$\varphi(a)$单调递减，进而有$$\varphi(a)\leqslant \varphi(2)=-\ln 2+\dfrac 14=\dfrac{\ln\dfrac{\rm e}{16}}4<0,$$于是原命题得证．
(3)根据已知条件，可得$$\left(x_1+x_2\right)^2+\left(x_1+x_2\right)-1=-1+x_1x_2-\ln x_1x_2.$$设$\mu(x)=-1+x-\ln x$，则其导函数$$\mu'(x)=\dfrac{x-1}{x},$$于是可得$\mu(x)$的最小值为$\mu(1)=0$，因此$$\left(x_1+x_2\right)^2+\left(x_1+x_2\right)-1\geqslant 0,$$解得$x_1+x_2>\dfrac{\sqrt 5-1}2$．