每日一题[783]微妙的平衡

已知$x\in \left(0,\dfrac{\pi}2\right)$．
(1) 求证：$\sin x+\tan x>2x$；
(2) 求证：$2\sin x+\tan x>3x$．

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证明　先证明(2)．令$f(x)=2\sin x+\tan x-3x$，则$f(x)$的导函数

$$f'(x)=2\cos x+\dfrac{1}{\cos^2x}-3=\cos x +\cos x+\dfrac{1}{\cos^2x}-3\geqslant 0,$$ 于是$f(x)$在区间$\left(0,\dfrac{\pi}2\right)$上单调递增，因此$f(x)>0$，命题(2)得证．
在(2)的基础上，我们有 $$\sin x+\tan x+x>\sin x+\tan x+\sin x=2\sin x+\tan x>3x,$$ 于是 $$\sin x+\tan x>2x,$$ 于是命题(1)得证．
用类似的方法，容易得知当$x\in\left(0,\dfrac{\pi}2\right)$时，不等式$3\sin x+\tan x>4x$不再恒成立．