每日一题[88] 抛物线的光学性质

（2015年北京市东城区高三一模数学理科）在平面直角坐标系 $xOy$ 中，动点 $E$ 到定点 $(1,0)$ 的距离与它到直线 $x=-1$ 的距离相等．

（1）求动点 $E$ 的轨迹 $C$ 的方程；

（2）设动直线 $l:y=kx+b$ 与曲线 $C$ 相切于点 $P$ ，与直线 $x=-1$ 相交于点 $Q$ ．证明：以 $PQ$ 为直径的圆恒过 $x$ 轴上的某定点．

（1）解根据抛物线的定义可知动点 $E$ 的轨迹为抛物线，其方程为

C : y^{2} = 4 x .

$C:y^2=4x.$

（2）解以 $PQ$ 为直径的圆恒过抛物线 $C$ 的焦点 $F(1,0)$ ，证明如下．

QQ20150411-2 过 $P$ 作准线 $x=-1$ 的垂线，垂足为 $H$ ．由抛物线的光学性质有

∠ F P Q = ∠ Q P H,

$\angle FPQ=\angle QPH,$ 根据抛物线的定义有

P F = P H,

$PF=PH,$ 因此三角形

P Q F

$PQF$ 与三角形

P Q H

$PQH$ 全等，于是

∠ P F Q

$\angle PFQ$ 恒为直角，进而以

P Q

$PQ$ 为直径的圆恒过抛物线

C

$C$ 的焦点

F (1, 0)

$F(1,0)$ ．

注抛物线的光学性质的证明可以仿照椭圆的光学性质的证明进行，留给读者．

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