每日一题[5] 椭圆的光学性质

  证明：从椭圆焦点出发的光线，经过椭圆反射后反射光线必经过另一个焦点．

如图，设反射点为\(T\)，反射面为\(MN\)，我们只需要证明若\(\angle MTF_1=\angle NTF_2\)，那么\(MN\)为切线．

显然\(MN\)上的点\(T\)在椭圆上，我们只需要证明直线\(MN\)上不存在椭圆上除\(T\)以外的其他点．

用反证法，假设直线\(MN\)上存在除\(T\)以外的椭圆上的点\(P\)，则\(PF_1+PF_2=2a\)（椭圆定义）．

作\(F_2\)关于\(MN\)对称的点\(F_2'\)，则\(F_1\)、\(T\)、\(F_2'\)共线，于是\[F_1F_2'=F_1T+TF_2=2a.\]

于是\(PF_1+PF_2'>F_1F_2'=2a\)（三角形两边之和大于第三边），矛盾．

因此直线\(MN\)上不存在除\(T\)以外的椭圆上的点，也即直线\(MN\)与椭圆相切．