每日一题[764]三角形外心的向量处理

设$O$是$\triangle ABC$的外心,$a,b,c$分别为$\triangle ABC$的内角$A,B,C$的对边,满足$b^2-2b+c^2=0$,则$\overrightarrow {BC}\cdot\overrightarrow {AO}$的取值范围是_______.


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正确答案是$\left[-\dfrac 14,2\right)$.

分析与解 因为三角形的外心是三边中垂线的交点,所以有$$\overrightarrow {AO}\cdot\overrightarrow {AB}=\dfrac 12c^2,\overrightarrow {AO}\cdot\overrightarrow {AC}=\dfrac 12b^2,$$于是所求数量积可以转化为$$\overrightarrow {BC}\cdot\overrightarrow {AO}=(\overrightarrow {AC}-\overrightarrow {AB})\cdot\overrightarrow {AO}=\dfrac 12b^2-\dfrac 12c^2.$$由题意知$c^2=2b-b^2>0$,所以$b\in(0,2)$,代入上式得$$\overrightarrow {BC}\cdot\overrightarrow {AO}=\dfrac 12(b^2-2b+b^2)=\left(b-\dfrac 12\right)^2-\dfrac 14\in\left[-\dfrac 14,2\right).$$

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