已知坐标平面上的凸四边形$ABCD$满足$\overrightarrow {AC}=(1,\sqrt 3)$，$\overrightarrow {BD}=(-\sqrt 3,1)$，那么$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}$的取值范围是_______．
正确答案是$[-2,0)$．
分析与解 因为$ABCD$为凸四边形，所以$AC$与$BD$交于四边形内一点，记为$M$，利用“向量的换底公式”统一起点为$M$，得$$\begin{split} \overrightarrow {AB}\cdot\overrightarrow {CD}=&(\overrightarrow {MB}-\overrightarrow {MA})\cdot(\overrightarrow {MD}-\overrightarrow {MC})\\=&\overrightarrow {MB}\cdot\overrightarrow {MD}+\overrightarrow {MA}\cdot\overrightarrow {MC}-\overrightarrow {MB}\cdot\overrightarrow {MC}-\overrightarrow {MA}\cdot\overrightarrow {MD}.\end{split} $$设$\overrightarrow {AM}=\lambda\overrightarrow {AC},\overrightarrow {BM}=\mu\overrightarrow {BD}$，则$\lambda,\mu\in(0,1)$，且$$\begin{split} \overrightarrow {MA}=&-\lambda\overrightarrow{AC},\overrightarrow {MC}=(1-\lambda)\overrightarrow {AC},\\\overrightarrow {MB}=&-\mu\overrightarrow {BD},\overrightarrow {MD}=(1-\mu)\overrightarrow {BD},\end{split} $$又因为$$\overrightarrow {AC}\cdot\overrightarrow {AC}=\overrightarrow{BD}\cdot\overrightarrow {BD}=4,\overrightarrow {AC}\cdot\overrightarrow{BD}=0,$$所以有$$\overrightarrow {AB}\cdot\overrightarrow {CD}=-4\mu(1-\mu)-4\lambda(1-\lambda)\in[-2,0),$$当且仅当$\lambda=\mu=\dfrac 12$时，$\overrightarrow {AB}\cdot\overrightarrow{CD}$取到最小值$-2$．
注 由于本题中$AC,BD$互相垂直，统一起点后可以直接得到取值范围，本题中后面的计算是针对一般情形的．
对于本题的特殊情况，因为对角线$AC\perp BD$，且$AC=BD=2$，可以直接以它们的交点$M$为坐标原点重新建系，以$AC,BD$所在直线的坐标轴，就可以得到$A,B,C,D$四点的坐标可以依次设为$(a,0),(0,b),(a+2,0),(0,b+2)$，从而有$$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow {CD}=(-a,b)\cdot(-a-2,b+2)=a(a+2)+b(b+2),$$而$a(a+2)<0,b(b+2)<0$（因为点$A,B$与点$C,D$分别在原点$M$的两侧），即$a\in(-2,0),b\in(-2,0)$，所以$$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow {CD}=a(a+2)+b(b+2)\in[-2,0).$$