已知坐标平面上的凸四边形ABCD满足→AC=(1,√3)，→BD=(−√3,1)，那么→AB⋅→CD的取值范围是_______．
正确答案是[−2,0)．
分析与解 因为ABCD为凸四边形，所以AC与BD交于四边形内一点，记为M，利用“向量的换底公式”统一起点为M，得→AB⋅→CD=(→MB−→MA)⋅(→MD−→MC)=→MB⋅→MD+→MA⋅→MC−→MB⋅→MC−→MA⋅→MD.
设→AM=λ→AC,→BM=μ→BD，则λ,μ∈(0,1)，且→MA=−λ→AC,→MC=(1−λ)→AC,→MB=−μ→BD,→MD=(1−μ)→BD,
又因为→AC⋅→AC=→BD⋅→BD=4,→AC⋅→BD=0,
所以有→AB⋅→CD=−4μ(1−μ)−4λ(1−λ)∈[−2,0),
当且仅当λ=μ=12时，→AB⋅→CD取到最小值−2．
注 由于本题中AC,BD互相垂直，统一起点后可以直接得到取值范围，本题中后面的计算是针对一般情形的．
对于本题的特殊情况，因为对角线AC⊥BD，且AC=BD=2，可以直接以它们的交点M为坐标原点重新建系，以AC,BD所在直线的坐标轴，就可以得到A,B,C,D四点的坐标可以依次设为(a,0),(0,b),(a+2,0),(0,b+2)，从而有→AB⋅→CD=(−a,b)⋅(−a−2,b+2)=a(a+2)+b(b+2),
而a(a+2)<0,b(b+2)<0（因为点A,B与点C,D分别在原点M的两侧），即a∈(−2,0),b∈(−2,0)，所以→AB⋅→CD=a(a+2)+b(b+2)∈[−2,0).