每日一题[744]分式函数的值域

求函数$y=\dfrac{x^3-x}{x^4+2x^2+1}$的值域．

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分析与解　法一　
注意到函数为定义在$\mathbb R$上的奇函数，而

$$\begin{split} \left|\dfrac{x^3-x}{x^4+2x^2+1}\right|&=\dfrac 12\left|\dfrac{2x\left(x^2-1\right)}{\left(x^2+1\right)^2}\right|\\&\leqslant \dfrac 12\left|\dfrac{\dfrac 12\left[4x^2+\left(x^2-1\right)^2\right]}{\left(x^2+1\right)^2}\right|\\&=\dfrac 14,\end{split}$$ 于是函数的值域为$\left[-\dfrac 14,\dfrac 14\right]$．

法二　函数即

$$\dfrac 12\cdot \dfrac{2x}{x^2+1}\cdot \dfrac{x^2-1}{x^2+1},$$ 于是令$x=\tan \dfrac \theta 2$，则 $$y=-\dfrac 12\sin\theta\cos\theta=-\dfrac 14\sin 2\theta,$$ 于是所求函数的值域为$\left[-\dfrac 14,\dfrac 14\right]$．

法三　当$x=0$或$x=1$时，$y=0$．当$x\ne 0$且$x\ne 1$时，有

$$y=\dfrac{x-\dfrac 1x}{x^2+\dfrac 1{x^2}+2}=\dfrac{x-\dfrac 1x}{\left(x-\dfrac 1x\right)^2+4}=\dfrac{1}{\left(x-\dfrac 1x\right)+\dfrac{4}{x-\dfrac 1x}},$$ 由于$x-\dfrac 1x$的取值范围是$\mathbb R^*$，于是所求函数的值域为$\left[-\dfrac 14,\dfrac 14\right]$．

思考与总结　注意从不同的角度观察代数式的结构．

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最后给出一道练习：

练习　已知函数$f(x)=\dfrac{2x^2+bx+c}{x^2+1}$($b<0$)的值域为$[1,3]$，则$b=$______，$c=$______．

答案　$-2$，$2$．

分析　注意到函数$f(x)$的值域关于$2$对称，考虑

$$f(x)=2+\dfrac{bx+c-2}{x^2+1},$$ 可得$c=2$．进而当$x\neq 0$时，有 $$f(x)=2+\dfrac{b}{x+\dfrac 1x},$$ 于是$b=2$(舍去)或$b=-2$．