每日一题[729]分析通项

求证：$\dfrac{1}{2\ln 2}+\dfrac{2}{3\ln 3}+\cdots +\dfrac{n-1}{n\ln n}>2\sqrt{n+1}-3$．

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证明过程　利用$\ln n<\sqrt n-\dfrac{1}{\sqrt n}$，可得

$$\dfrac{n-1}{n\ln n}>\dfrac{1}{\sqrt n}>2\left(\sqrt{n+1}-\sqrt n\right).$$ 对$n=2,3,\cdots,n$累加得 $$\dfrac 1{2\ln 2}+\dfrac 2{3\ln 3}+\cdots+\dfrac {n-1}{n\ln n}>2(\sqrt{n+1}-\sqrt 2)>2\sqrt{n+1}-3.$$ 不等式得证．

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证明过程很简洁，思路是怎么来得呢？

思路分析　要证不等式的左边是级数求和，可以分析通项：要证

$$\sum_{k=1}^n{a_k}>f(n),$$ 可以尝试证明$a_k>f(k)-f(k-1)$，再通过累加及分析开始几项，可得结果．

在本题中，分析通项得：只需要证明

$$\dfrac {n-1}{n\ln n}>2(\sqrt{n+1}-\sqrt n),$$ 也即证 $$\ln n<\dfrac {n-1}{n}\cdot\dfrac {\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{2},$$ 我们可以证明更强的命题 $$\ln n<\dfrac {n-1}{n}\cdot\sqrt n=\sqrt n-\dfrac 1{\sqrt n}.$$ 于是得到上面的书写过程．

注　与$\ln x$相关的常见不等式：

最平凡的：

$$\forall x>0,\ln x\leqslant x-1;$$

一个下界：

$$x\in(0,1),\ln x>1-\dfrac 1x;$$

一个更精确的界：

$$\begin{split}& \forall x\in(0,1),\dfrac {x-1}{\sqrt x}<\ln x<\dfrac{2(x-1)}{x+1};\\&\forall x\in(1,+\infty),\dfrac {2(x-1)}{x+1}<\ln x<\dfrac {x-1}{\sqrt x}.\end{split}$$

上述不等式的证明见http://lanqi.org/skills/18618/，这里略去．